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Herleitung der Formel für die Partialsumme

Frage: Herleitung der Formel für die Partialsumme
(28 Antworten)


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Ich habe mal bei wikipedia recherchiert.


http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen


Vereinfacht:
sn=a0(q+q²+.......+q^n+1)


durch Multiplikation mit q ergibt sich:

qsn=a0(q+q²+q³+.......+q^n+1)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert erhält man:

sn-qsn=a0(1-q^n+1)

........der Rest ist zu verstehen


meine Fragen:

Warum erfolgt eine Multiplikation mit q?
Warum wird Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert?
Was sagt mir qsn eigentlich aus? Da fällt doch eigentlich das erste Glied durch Multiplikation weg. Dann kann ich nur noch die Summe der Glieder ab Glied 2 berechnen.



Bedanke mich schon einmal für eure Hilfe.
Frage von AbiTour (ehem. Mitglied) | am 06.01.2011 - 13:54


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 13:54
Was
ich noch erwähnen muss a0= a mit einer Null unten rechts

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 14:15
"Warum erfolgt eine Multiplikation mit q?"
Weil dies der Multiplikator zwischen den Termen ist und die Rechnung damit vereinfacht wird.
"Warum wird Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert?"
Weil man die kleinere Reihe von der größeren Reihe subtrahieren muss, um auf die Summenformel zu kommen.
Wie man leicht erkennt, passen die meisten Terme zusammen. Subtrahiert man sie, bleibt nur noch (nach Vereinfachung):S(n)=a*q^(k-1) [k=1 bis n] wobei q ungleich 1 ist, k Element N größer 1 gilt. (a ist das Anfangsglied)


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 14:21
Habe leider nicht verstanden, wo nach der Multiplikation mit q das Anfangsglied geblieben ist.


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 14:23
ich meine vorher stand in der Klammer die 1.Nun steht da ein q. Multipliziert man das Anfangsglied mit dem q so ergibt sich das zweite Glied.Bei der Summierung ist das erste Glied nicht mehr erhalten glieben.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 14:24
du hast s(n)=a0*(1+...+q^n)

wenn du mit q multiplizierst (auf beiden seiten natürlich), hast du q*s(n)=q*a0(1+...+q^n)

und jetzt ziehst du q in die klammer hinein (distributivität), den startwert a0 lässt du vorne stehen, also bleibt a0(1*q+...q^n*q)=a0(q+...+q^(n+1))


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 14:52
Zitat:
"Warum wird Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert?"
Weil man die kleinere Reihe von der größeren Reihe subtrahieren muss, um auf die Summenformel zu kommen.



Wäre also sn kleiner als qsn, so müsste ich sn von qsn subtrahieren?(qsn-sn). Dieses prinzip gilt bei allen Herleitungen?

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 14:59
ne. es ist absolut egal, was du von was subtrahierst.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:00
Dieses Prinzip gilt keineswegs bei allen Herleitungen. In diesem Falle ist es aber richtig.
Der Kniff ist folgender: Die Mathematiker kennen bereits die Formel, auf die sie hinauswollen, tun aber nur so, als ob die Formel für sie unbekannt wäre. (Dies wird Ihr Lehrer aus didaktischen Gründen tunlichst verschweigen.)
Jetzt wird solange umgeformt, bis sie die gewünschte Formel haben.

Falls Sie jetzt andersherum subtrahieren, werden Sie kaum auf die Summenformel für die geometrische Reihe kommen.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:02
"Falls Sie jetzt andersherum subtrahieren, werden Sie kaum auf die Summenformel für die geometrische Reihe kommen."

und das ist schlichtweg falsch.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:08
Na ja, 2*S(n)-1*S(n) lässt sich leichter vermitteln als andersherum.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:13
und in der herleitung geht man genau anders vor

ob man q*s(n)-s(n) berechnet, oder s(n)-q*s(n) ist wirklich egal (auch vom zeitaufwand), beides sind teleskopsummen (summen, bei denen alle summanden wegfallen - bis auf die äußersten).


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 15:22
Ich versuche es mal an einem Beispiel herzuleiten:

Reihe 256,64,16,4,1

q=1/4


Ziel: Summe der ersten Drei Glieder

sn=a0(1+q+q².......+q^n+1)

sn=336



sn=a0(1+q+q².......+q^n) /*q

sn*q=256(q+q²+.......+q^n+1)

Hier bin ich mir nicht mehr sicher. Was setz ich ein sn*q=84 a0=256 was kommt jetzt bei den anderen q`s und was muss ich bei n einsetzen 3 oder?da ich ja die summe der ersten drei glieder berechnen möchte.


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 15:24
bei den anderen q`s kommt ja 1/4.... aber bis zum wie vielten exponenten muss ich rechnen.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:27
"Ziel: Summe der ersten Drei Glieder

sn=a0(1+q+q².......+q^n+1)

sn=336"

da machst du schon einen fehler.

ich nehme an, q=4, nicht 1/4.

wenn du das so machst, dann summierst du 5 glieder auf und nicht etwa 3. (es ist nur n=3)
und das ergebnis ist dann nicht s(n+1)=s(4)=336, sondern 5 mehr.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:35
Gegeben:
a1=256 a2=64 a3=16
q=0.25 ungleich 1

Formel: a*(q^n-1)/(q-1) mit n=3, Anfangsglied a=256
Es folgt:
256*(0.25^3 -1)/(0.25-1)=...

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:40
"ich nehme an, q=4, nicht 1/4."
wohl kaum!
q=0,25

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:45
ich habs genau umgekehrt gelesen, ändert wegen kommutativität an der summe nichts.

"256*(0.25^3 -1)/(0.25-1)=..."

ist falsch.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 15:55
Also dann ausführlich, aber nur ausnahmsweise:

256*(0,25^3 -1)/(0,25-1)=

256*(1/64 -64/64)/(-3/4)=

256*(-63/64)/(-3/4)= [Brüche kürzen] 256*/(21/16)=336

Wenn man nun elementar addiert 256+64+16 erhält man auch 256+64+16=336.

 
Antwort von GAST | 06.01.2011 - 16:01
dass da 336 rauskommt war mir klar

das problem: sn=a0(1+q+q².......+q^n+1) ist für n=3 die summe der ersten 5 glieder (ferner mach der ausdruck für n<2 keinen sinn)

außerdem geht die reihe bei ihm grad bis zum 5ten summand.
warum nicht bis zum 6ten, ...?

insofern: falsche lösung oder falsche aufgabenstellung.
aber raten mag ich eigentlich nicht.


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Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 06.01.2011 - 16:17
kann man sagen, dass dieses Herleiten schon höhere Mathematik ist?

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