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Schule > Mathematik > Algebra und Funktionen > Facharbeit: Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen

Iterationsverfahren

zur Nullstellenbestimmung von Funktionen
Facharbeit

Leistungskurs Mathematik:
Iterationsverfahren
Schuljahr 2004/05
Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen
Inhaltsverzeichnis Seite
Einleitung
Vorwort…………………………………………………………………………3
Legende…………………………………………………………………………3
Grundlagen
Nullstellensatz von Bolzano……………………………………………………4
Graphische Lokalisierung von Nullstellen………………………………….….4
Rechnerische Anwendung des Nullstellensatzes…………………………….…5
Intervallhalbierungsmethode
Einleitung………………………………………………...……………….……5
Erklärung…………………………………...………...…….…………….…….5
Begriffserklärung: Konvergenz…………………………………………...……7
Analyse der Intervallhalbierungsmethode………………………………..…….7
Fixpunktverfahren
Einleitung………………………………………………………………….…...7
Beschreibung………………………………………………….…………..……8
Erklärung
Umformung in eine Fixpunktgleichung…………………………………..…8
Anwendung der Iterationsvorschrift……………………………………..…..9
Konvergenz
Konvergenzbetrachtung beim Fixpunktverfahren…………………….……11
Begriffliche Grundlagen der Konvergenz…………………………….……11
Approximationsprobleme beim Fixpunktverfahren
Einführung …………………………………………………………………13
Erklärung …………………………………………………………………..14
Zusammenfassung……………………………………………….…………16
Fehlerabschätzung…………………………………………………………….17
Zusammenfassung der Fixpunktiteration……………………………………..18
Analyse der Fixpunktiteration………………………………………………...18
Iterates-Funktion von Derive………………………………………………….18
4.10 Durchführung einer Fixpunktiteration mit dem TI-83 Plus ………………….19
Newtonverfahren
Einleitung………………………………………………………………………21
Graphische Darstellung der Newtoniteration…………………………………..21
Herleitung der Iterationsvorschrift………………………………………….….21
Konvergenz
Konvergenzbedingungen ………………………………………………..…22
Überprüfung der Konvergenzordnung …………………………………..…23
Analyse der Newtoniteration…………………………………………………...24
Newtonapproximation mittels Derive……………………………………….…24
Newtonapproximation mit dem GTR (TI-83 Plus)…………………………….25
Vereinfachtes Newtonverfahren ……………………………………………….26
Sekantenverfahren
6.1 Einleitung………………………………………………………………………27
6.2 Herleitung der Iterationsvorschrift………………………………….………….27
6.3 Graphische Darstellung der Sekanteniteration…………………………………28
6.4 Konvergenzaussagen………………………………………………….………..28
Fazit……………………………………………………………………………29
Schlusswort……………………………………………………………………29
1.Einleitung

1.1 Vorwort
In unserer Facharbeit behandeln wir das Thema: „Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen“.
Was verbirgt sich hinter dieser Überschrift? Was ist eine Iteration?
Eine Iteration ist im mathematischen Sinne eine „wiederholte Anwendung desselben Rechenverfahrens auf dabei gewonnen Zwischenwerte, um sich von einer Näherungs-lösung der exakten Lösung einer Gleichung anzunähern“1.
Wir beschäftigen uns also mit Funktionen, deren Nullstellen nicht durch äquivalente Umformung zu bestimmen sind. Für derartige Nullstellenprobleme wurden Iterations-verfahren entwickelt, die wir in unserer Facharbeit vorstellen werden. Diese Verfahren sind in vielen Bereichen der Mathematik anwendbar, da verschiedenste Probleme auf ein äquivalentes Nullstellenproblem zurückgeführt werden können.
Betrachtet man z.B. die Lösung der Gleichung , so ergibt sich das Nullstellenproblem .
Es gibt unterschiedliche Lösungsansätze sich der Nullstelle anzunähern. Wir erläutern die Intervallhalbierungsmethode, das Fixpunktverfahren, das Newtonverfahren sowie das Sekantenverfahren. Jede Methode besitzt Vor –und Nachteile, die durch eine analytische Betrachtung verdeutlicht werden. Zudem werden wir die Durchführung einer Nullstellenapproximation im GTR sowie mit Derive 6 darstellen und erklären.
1.2 Legende
Mathematisches
Symbol
Fixpunkt
Nullstelle
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
x Elemente der Menge M
a kleiner b
a kleiner gleich b
Abgeschlossenes Intervall mit a und b , a x b
Menge der Elemente a und b
echte Teilmenge von, Teilmenge von
2. Grundlagen
2.1 Nullstellensatz von Bolzano

Das einfachste Verfahren, um Nullstellen zu bestimmen, ist die Intervallhalbierungs-methode (Bisektionsverfahren). Dieses Verfahren basiert auf dem Nullstellensatz von Bolzano:

Nullstellensatz von Bolzano
Wenn f an jeder Stelle eines Intervalls stetig ist ( ) und von den Randwertenund der eine positiv und der andere negativ ist(( 0),
dann hat mindestens eine Nullstelle im Intervall [a;b] ( (a0;b0) mit = 0 ) 2,3
Anhand dieses Satzes lässt sich das Bisektionsverfahren herleiten.

Zunächst muss jedoch die Nullstelle grob lokalisiert werden. Durch die graphische Lokalisierung versucht man nun ein möglichst kleines Intervall zur Eingrenzung der Nullstellen zu bekommen:
2.2 Graphische Lokalisierung von Nullstellen
Zur Lokalisierung der Nullstelle untersuchen wir den Graphen von , sodass sich ein Intervall ablesen lässt. Dieser Schritt der graphischen Lokalisierung ist für jedes Iterationsverfahren notwendig.
Abb. 1 graphische Darstellung von f(x)
Folgendes Intervall lässt sich ablesen: , ; 4
2.3 Rechnerische Anwendung des Nullstellensatzes
Da ganz rationale Funktionen immer stetig sind, ist die Bedingung der Stetigkeit der Funktion gegeben. Somit gilt die Bedingung der Stetigkeit ebenfalls im Intervall

; .

Nun beweisen wir rechnerisch, dass sich die angenommene Nullstelle tatsächlich im Intervall befindet. Dafür muss nun auch die zweite Bedingung des Nullstellensatzes des Bolzano gelten:

< 0 :
< 0
Da < 0 ist, ist der Nullstellensatz des Bolzano erfüllt. Es befindet sich also tatsächlich im Intervall für mindestens eine Nullstelle.
3. Intervallhalbierungsmethode

3.1 Einleitung
Nachdem nun die Bedingungen des Satzes von Bolzano im Intervall für erfüllt sind, lässt sich ein Verfahren ableiten, bei dem man durch eine Intervallhalbierung die Nullstelle bestimmen kann. Das Verfahren basiert auf dem Nullstellensatz des Bolzano, da nach einer Intervallhalbierung des Intervalls beide Intervallhälften auf Nullstellen überprüft werden. Der Prozess der Intervallhalbierung wird anschließend mit dem Intervall, in dem sich die Nullstelle befindet, fortgeführt. Durch diese Intervallhalbierung nähert man sich also der Nullstelle an.
Natürlich lässt sich dieses Verfahren auch bei Graphen mit mehreren Nullstellen durchführen.
3.2 Erklärung
Schritt 1
Um eine Halbierung durchzuführen, muss der Mittelpunkt des Intervalls gefunden werden.

Die Formel lautet:
Anschließend überprüft man den Funktionswert an der Stelle.
Anhand des Nullstellensatzes von Bolzano wird nun durch das Vorzeichen des Funktionswertes das Intervall ermittelt, in dem sich die Nullstelle befindet.
Ist < 0, so liegt die Nullstelle im Intervall [a0 ; x1].
Es wird darauffolgend und gesetzt.
Ist > 0, so liegt die Nullstelle im Intervall , da nun < 0 ist. Dann wird und gesetzt.
Damit ist das Intervall halbiert und die Nullstelle stärker eingegrenzt.

Schritt 2

Anschließend muss der neue Mittelpunkt des Intervalls ermittelt werden, um sich der Nullstelle weiter zu nähern:

Die neue Formel zur Ermittlung des Intervallmittelpunktes lautet:
Ist auch dieser Mittelpunktgefunden, wird erneut das Intervall ermittelt, in dem sich die Nullstellebefindet.
Abb.2 Graphische Darstellung der Intervallhalbierungsmethode

Verlauf
Dieser Halbierungsprozess wird so oft durchgeführt, bis die Nullstelle vom Intervall ausreichend (z.B.: Fehlerschranke 0,001) eingegrenzt ist.

Da nach jedem Schritt das Intervall halbiert wird, wäre nach k-Schritten die Nullstelle eingeschlossen:
Nach k Schritten, kN, ist eine Nullstelle im Intervall eingeschlossen.
Dieses hat die Länge . .

Erklärung
entspricht der Länge des Intervalls nach k-Schritten. Genauso ließe sich die Länge als Anzahl der Halbierungen () multipliziert mit dem Betrag der Ausgangslänge des Intervall beschreiben.
3.3 Begriffserklärung: Konvergenz
Die Genauigkeit der Annäherung an die Nullstelle richtet sich also nach der Anzahl der durchgeführten Schritte. bestimmt bei der Intervallhalbierung die Geschwindigkeit der Annäherung bzw. die Geschwindigkeit der Verkleinerung des Intervalls. Diese Annährungsgeschwindigkeit nennt man Konvergenzgeschwindigkeit.
(weitergehende Erläuterungen zur Konvergenzgeschwindigkeit siehe: Gliederungspunkt 4.4)
Konvergenz [lat.] die, 1) allg. : Annäherung, Übereinstimmung […] 4) Mathematik: Eigenschaft von unendl. Folgen oder Reihen von Zahlen oder von Funktionenfolgen
oder –reihen, einem Grenzwert zuzustreben (konvergieren) […]5

In dem in Abb. 2 beschriebenen Beispiel würde es bei einer Fehlerschranke von 0,001 und der Intervalllänge 1, 10 Schritte benötigen, um die gewünschte Nullstellen-annäherung zu bekommen:
< 0,001 6
3.4 Analyse der Intervallhalbierungsmethode
Die Intervallhalbierungsmethode ist eine Methode, die durch ein einfaches Prinzip zur Annäherung der Nullstelle führt. Es ist ein sicheres und genaues Verfahren, mit dem jede Nullstelle einer ganz rationalen Funktion berechnet werden kann.
Diese Methode weist aber auch einige Nachteile auf. So ist es aufgrund der langsamen Konvergenzgeschwindigkeit und des hohen Rechenaufwandes ein langwieriger Prozess, eine Nullstelle „genau“ zu ermitteln. (siehe Schritt 1 und Erklärung)
4. Fixpunktverfahren

4.1.Einleitung
Die Intervallhalbierungsmethode wies den Nachteil der langsamen Konvergenzgeschwindigkeit sowie einen aufwendigen Rechenweg auf. Wir werden in den darauffolgenden Themenpunkten eine Übersicht über andere Iterationsverfahren geben, deren Näherungsverfahren schneller sind. Durch einer schnellere Nullstellennäherung lässt sich in kürzerer Zeit eine genaue Nullstellenbestimmung durchführen. Wir werden zuerst das Fixpunktverfahren vorstellen. Dieses Verfahren wird auch „allgemeine Iteration“, „Banach-Iteration“ oder „sukzessive Approximation“ (aufeinanderfolgende Annäherung) genannt.

4.2 Beschreibung
Dieses Verfahren setzt, wie alle Iterationsverfahren, vorerst die graphische Lokalisierung einer Nullstelle, d.h. die Eingrenzung der Nullstelle durch ein Intervall, voraus (siehe Gliederungspunkt 2.2).
Zur Nullstellenbestimmung formt man das Nullstellenproblem zunächst in ein äquivalentes Fixpunktproblem um. Dabei nähert man sich einem sogenannten Fixpunkt, durch den man anschließend auf die Nullstelle eines Graphen der Funktion mit xR schließen kann.
Zur Veranschaulichung der sukzessiven Approximation wählen wir die Funktion
. Um die Nullstellen dieser Funktion bestimmen zu können, muss gelten:; ()
Da die Gleichung nicht direkt lösbar ist, muss ein Weg gefunden werden, sich an die Nullstellen zu nähern.
Hierzu verwenden wir das Fixpunktverfahren.
3.3 Erklärung
4.3 Umformung in eine Fixpunktgleichung (Schritt 1)
Um das Fixpunktverfahren anwenden zu können, muss vorerst eine Umstellung der Gleichung in die sogenannte Fixpunktgleichung erfolgen.
Hierzu wird die Gleichung nach einem x aufgelöst.

Umgeformt erhält man:
Bei dieser Umformung ist darauf zu achten, dass der Definitionsbereichmöglichst alle Nullstellen von erfasst bzw. gilt.
Diese umgestellte Gleichung nennt man Fixpunktgleichung: x = g(x)
Die Lösungen dieser Gleichung sind gleichzeitig die Nullstellen der Ausgangsfunktion. Überträgt man den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem, so weist dieser eine Schnittstelle mit der Diagonalen () des Koordinatensystems auf. 7
Abb.3
Der Graph
schneidet die Diagonale. Diesen Schnittpunkt nennt man Fixpunkt.
Die -Koordinate des Fixpunktes ist die Lösung der Gleichung
und somit Lösung der Gleichung
bzw. der Gleichung

Diese Zusammenhänge werden in Abb.4 deutlich:
Abb.4 vergrößerter Ausschnitt von Abb.3 inkl. f(x)
4.3.2 Anwendung der Iterationsvorschrift
Ziel ist es also, den Fixpunkt (Schnittpunkt der Graphen und ) zu bestimmen, um somit auf die Nullstelle () schließen zu können. Damit die Fixpunktgleichung gelöst werden kann, wurde ein Verfahren entwickelt.

Dieses Fixpunktverfahren basiert auf folgender Vorschrift:
Vorschrift der sukzessiven Approximation: ; …… ………… ………….
Mit Hilfe dieser Vorschrift und einem Startwert entsteht eine
Folge , die sich unter Berücksichtigung von Vorschriften (siehe Gliederungspunkt 4.5.3) dem Fixpunkt annähert (konvergiert).8
Eine Folge mit k-Schritten entsteht dadurch, dass der Funktionswert des anfangs gewählten Startpunktes den darauffolgenden -Wert bestimmt.
Wir wenden diese Vorschrift nun an unserem Beispiel an. Bei jedem Iterationsverfahren ist eine vorhergegangene graphische Lokalisierung nötig. Man erhält für
das Intervall .

Durch Umformung in die Fixpunktgleichung ergab sich aus:

Es gilt:
; ……

daraus ergibt sich für :
Startpunkt sei
Abb.5 Graphische Darstellung des Fixpunktverfahrens

Für die daraus entstehende Folge bei einer gewählten Fehlerschranke von 0,000001 ergeben sich folgende Rechenwerte:

Tab.1

ki xk 0 0,2 1 0,394228680 2 0,436530562 3 0,445287563 4 0,447081364 5 0,447448017 6 0,447522927 7 0,447538231 8 0,447541358 9 0,447541997 10 0,447542127 11 0,447542154 Beschreibung der Tabelle 1:
Es ist festzustellen, dass nach 10 Schritten beim Startwert x0 = 0,2 die Nullstelle auf genau bestimmt wurde.
Laut diesem Annäherungsverfahren liegt der Fixpunkt und somit die Nullstelle bei = 0,447542.
Wird die Fehlerschranke 0,000001 verkleinert, so lässt sich die Nullstelle noch stärker eingrenzen bzw. genauer bestimmen.
Betrachtet man die Differenzen bemerkt man, dass die Fehlerwertminimierung mit zunehmendem k abnimmt.
4.4 Konvergenz
4.4.1 Konvergenzbetrachtung beim Fixpunktverfahren
Diese Fehlerminimierung ist nun weiter zu untersuchen.

Dafür legen wir erneut eine Tabelle an, in der wir zum einen die Fehlerminimierung |xk– x*| und zum andern den Faktor der Fehlerminimierung von xk zu xk+1 darstellen:
Tab. 2

ki

|xk– x*| 0… 0,247542 1 0,05331332 1 / 4,643154844 … 2 0,011011438 1 / 4.841631039 3 0,002254437… 1 / 4,884340525 4 0,000460636 1 / 4,894418326 5 0.000093983 1 / 4,901269379 6 0,000019073 1 / 4,927541551 7 0,000003769 1 / 5,0604935 Beschreibung der Tabelle 2:
Es lässt sich aus der Tabelle ablesen, dass von k zu k+1 beim Fehlerwert |xk– x*| ungefähr eine 5-Teilung stattfindet.
Somit wird der Fehlerwert der Annäherung an die Nullstelle von zu um ca. ein
5-faches verkleinert.
4.4.2 Begriffliche Grundlagen der Konvergenz
In Tabelle 2 wurde beschrieben, dass sich der Fehler der Annäherung an die Nullstelle von k zu k+1 nahezu konstant/linear verkleinert.9
Diesen Faktor der Fehlerminimierung nennt man Konvergenzfaktor q (Kontraktionskonstante oder auch Lipschitzkonstante).

Es gilt: und
um eine Fehlerminimierung zu gewährleisten. Erfüllt eine Funktion im Intervall [a,b] diese Bedingung so sagt man, die Funktion genüge einer Lipschitzbedingung10.

Erklärung:

„Der Fehlerwert des vorhergegangenen Schrittes k multipliziert mit dem Konvergenzfaktor q ist größer-gleich dem nächsten Fehlerwert.“ Dabei muss bei einer Annäherung an den Fixpunkt der Fehlerwert kleiner als der Fehlerwert sein. Folglich muss gelten:
Ist der Faktor ( 1, so wird der Fehlerwert nicht minimiert, sondern maximiert. Man könnte somit auch vom „Divergenzfaktor“ sprechen, falls( 1 ist, da sich der Fehler von zu vergrößert.
In unserem gewählten Beispiel liegt dieser Konvergenzfaktor bei ( .
Zitat:„Je kleiner das q ist, desto besser oder schneller konvergiert das Verfahren, desto höher ist seine Konvergenzgeschwindigkeit.“11
Dieser Konvergenzfaktor bestimmt bei Iterationsverfahren die Geschwindigkeit einer Annäherung an einen Fixpunkt bzw. an die Nullstelle.
Die Fehlerminimierung beim Fixpunktverfahren kann man als konstant/linear bezeichnen. Wenn eine Folge von Approximationen linear gegen einen Fixpunkt konvergiert und
und gilt,
so spricht man von linearer Konvergenz.

Diese lineare Konvergenz wird in der Konvergenzordnung festgehalten:

Definition:
„Ein durch eine gegen konvergierende Folge () gegebenes Verfahren heißt von Ordnung, wenn eine Konstante q existiert, sodass für alle großen hinreichenden
Indizes gilt. Die speziellen Fälle werden als lineare, quadratische bzw. kubische Konvergenz bezeichnet.“12

„Eine Konvergenz ist genau von Ordnung wenn:
“13
Je höher die Konvergenzordnung p, desto schneller konvergiert ein Verfahren.14
4.5 Approximationsprobleme beim Fixpunktverfahren

4.5.1 Einführung
Nicht alle Nullstellen einer Funktion xR können mithilfe der sukzessiven Approximation bestimmt werden. Es gibt Ausnahmen, sodass Bedingungen aufgestellt werden müssen, die eine Konvergenz an die Nullstelle sichern.

Wir werden hierzu versuchen die Gleichung durch das Fixpunktverfahren zu lösen, um anhand dieser Funktion verschiedene Einschränkungen des Fixpunktverfahrens zu erläutern:
Schritt 1
Graphische Lokalisierung der Nullstelle (siehe Gliederungspunkt 2.2)
Vermutung der Nullstelle bei ( 1,3
Schritt 2
Umformung in die Fixpunktgleichung
Schritt 3
Anwendung der Vorschrift ;
Startwert
Tab.3

ki ……… xk 0 1,7 1 0,931 2 1,746 3 0,858 4 1,789 5 0,786 6 1,830 7 0,717 8 1,860 Beschreibung:
Man erkennt, dass die Werte für mit zunehmendem
von der vermuteten Nullstelle divergieren.
D.h. , dass sich die Folge dem Fixpunkt nicht annähern kann.
( Eine Lösung der Nullstelle für kann
nicht durch das Fixpunktverfahren gegeben werden.

Graphisch lässt sich diese Divergenz folgendermaßen darstellen:
Abb.6 graphische Darstellung der Divergenz bei Fixpunktverfahren
Die Folge konvergiert nicht gegen den Fixpunkt . Um dieses Verhalten erklären zu können, untersuchen wir den Konvergenzfaktor (Faktor der Fehlerminimierung), da dieser Faktor für die Annäherung an den Fixpunkt verantwortlich ist.

Dazu fertigen wir eine Tabelle an:
Tab.4
ki

xk

|xk– x*| =q 0… 1 0,368808107 1 1,7 0.331191893 0.8980060001 2 0,9307 0.438108107 1.322822557 3 1.746142036 0.377333929 0.8612804076 4 0.8577967937 0.511011313 1.354268126 5 1.789718928 0.420910821 0.8236820013 6 0.7861174637 0.582690644 1.384356530 7 1.827823327 0.45901522 0.7877511415 8 0.7211479147 0.647660192 1.410977596 Beschreibung:
Man bemerkt, dass Annäherung (Konvergenz) und Entfernung (Divergenz) an den Fixpunkt = 1.368808107 in einer Wechselbeziehung zueinander stehen. Konvergenz und Divergenz wechseln einander ab. Jedoch divergiert die Folge „schneller“ als sie konvergiert. Daher lässt sich eine allg. Divergenz feststellen.
Diese Divergenz ist durch den Konvergenzfaktor q ( 1 zu begründen (siehe Gliederungspunkt 4.4).
4.5.2 Erklärung

In Gliederungspunkt 4.4 haben wir den Konvergenzfaktor q folgendermaßen definiert:

und

Anhand dieser Definition kann man eine Bedingung herleiten, die eine Approximation an den Fixpunkt gewährleistet:

Dazu schreiben wir die Definition des Konvergenzfaktors allgemeiner:

Durch Umformung erhält man:

Die Abhängigkeit, dass den Differenzenquotienten wiederspiegelt und dass nicht kleiner 1 sein darf, wird in den folgenden Graphiken deutlich:
Abb.7

Erläuterung der Abb.7

Das Verfahren der sukzessiven Approximation funktioniert in diesem Fall. Die Folge konvergiert gegen den Fixpunkt und ist damit kontraktiv. Es gilt:
Dies ist dadurch gegeben, dass die Ungleichung
erfüllt ist.

Für den Konvergenzfaktor q gilt:
0 1
Abb.8
Erläuterung der Abb.8
In diesem Fall funktioniert das Verfahren der sukzessiven Approximation nicht. Es gilt
, da
gegeben ist.
Eine Divergenz findet statt, da der Konvergenzfaktor die Bedingung 0 1 nicht erfüllt.
Um eine sukzessive Approximation zu gewährleisten, darf also keine Steigung im Intervall [a, b] größer als 1 sein, da sich dadurch ein Konvergenzfaktor ( 1 ergeben würde.

Es darf also keine Ableitung im Intervall ( 1 sein. Es gilt:
( 115,16

4.5.3 Zusammenfassung
„Es sei eine offene Teilmenge von, es sei stetig differenzierbar mit einem Fixpunkt . Wenn gilt, dann existiert ein abgeschlossenes Intervall mit und , auf dem eine Kontraktion ist.“17

Die Konstante lässt sich allgemein nur schwer bestimmen, man kann allerdings sagen:

Durch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen wir diese Aussage:
„Der Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung besagt, dass, wenn eine Funktion im Intervallstetig und in differenzierbar ist, so gibt es eine Zahl mit
( ( und .“ 18

Beweis:
„,
“19
Für Anwendungsaufgaben empfiehlt es sich, die Ableitung im vermuteten Fixpunkt zu bilden, um diese auf die Bedingung ( 1 zu überprüfen.
Eine Iterationsfolge konvergiert immer gegen wenn ( 1, sofern der Startwert der Folge hinreichend nahe bei gewählt wurde.
Der Banachsche Fixpunktsatz gibt die Bedingungen, die für eine Folge der sukzessiven Approximation gegeben sein müssen, wieder.

Banachscher Fixpunktsatz:
„Es sei eine Kontraktion über einer abgeschlossenen Teilmenge . Dann existiert ein eindeutiger Fixpunkt x* = g(x*) in , gegen den alle durch
= mit beliebigem Startwert definierten Folgen konvergieren.“20
4.6 Fehlerabschätzung

Für den Abbruchfehler gelten nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgende Abschätzungen:
apriori (lat.: von vornherein)
aposteriori (lat.: im nachhinein)

zu a)
Mithilfe der „apriori-Fehlerabschätzungen“ kann man von vornherein, nachdem man Schritt durchgeführt hat, entscheiden, wie viele Iterationsschritte durchgeführt werden müssen, um eine Lösung mit einer selbst definierten Fehlertoleranz zu erhalten.

Zu b)
Mithilfe der „aposteriori-Fehlerabschätzung“ kann man im Nachhinein den Fehler zum Fixpunkt berechnen, der nach Schritten vorhanden ist. Hierzu verwendet man die beiden letzten Näherungswerte und , um zu überprüfen, wie genau die Nullstelle x* errechnet wurde.
(Die „aposteriori-Fehlerabschätzung“ kann erst nach Abschluss der Iteration
durchgeführt werden, jedoch liefert sie eine genauere Fehlerschranke 21,22
Der Beweis dieser Abschätzung ist in dem Buch „Einführung in die Numerische Mathematik“ von Walter Oevel auf Seite 44-45 zu finden.
Die „apriori“ -und die „aposteriori-Fehlerabschätzung“ basieren auf einer festem Konvergenzfaktor. Daher sollte man bei Iterationsverfahren mit hoher Konvergenzordnung weder die „apriori“ noch die aposteriori-Fehlerabschätzung verwenden. Diese liefern ein ungenaues Ergebnis, da der Konvergenzfaktor bei Verfahren mit hoher Konvergenzordnung beim Streben gegen die Nullstelle immer kleiner wird.

Bei derartigen Verfahren gilt für die Bestimmung der Fehlerschranke folgende Abschätzung:

23
Eine Erklärung dieser Abschätzung ist in dem Buch „Einführung in die Numerische Mathematik“ von Walter Oevel auf Seite 52-53 zu finden.
4.7 Zusammenfassung der Fixpunktiteration

Das Nullstellenproblem der Gleichung lässt sich iterativ lösen, wenn man dieses Problem in ein äquivalentes Fixpunktproblem umformuliert. Mithilfe der Vorschrift …; entsteht eine Folge, die sich dem Fixpunkt zur Lösung des Nullstellenproblems annähern soll. Dazu muss die Funktion vorerst auf die Konvergenzeigenschaften überprüft werden. Hierzu bildet man die Ableitung im vermuteten Fixpunkt x*, sodass folgende Aussagen über das Verhalten der Iteration gemacht werden können:
„ ( falls: ( 1 konvergierende Iteration
( falls: ( 1 divergierende Iteration“24
Sind die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt und der Startpunkt hinreichend nahe bei der Lösung gewählt, so konvergiert die Folge nun gegen den gesuchten Fixpunkt. Man erhält somit die Lösung für .
4.8 Analyse des Fixpunktiteration
Das Fixpunktverfahren ist ein Verfahren das lineare Konvergenz aufweist. Diese Konvergenz ist von der Funktion abhängig und damit nicht einheitlich. Verläuft der Graph in der Umgebung von x* relativ flach für (( 1) , so ist eine Konvergenz festzustellen. Verläuft er steil (( 1), so divergiert die Folge. Damit sind erhebliche Einschränkungen zur Nullstellenbestimmung von gegeben.
Sind jedoch die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes gegeben, lässt sich durch das Verfahren der sukzessiven Approximation eine Nullstelleniteration mit relativ geringem Rechenaufwand durchführen.
4.9 Iterates-Funktion von Derive
Mit der Iterates-Funktion von Derive kann man sehr einfach die einzelnen Approximationsschritte der Iterationsfolge des Fixpunktverfahrens berechnen.

Durchführung:
Eingabe der Funktionsgleichung von im Algebrafenster
Graphische Lokalisierung der Nullstelle durch Zeichnen des Funktionsgraphen im 2D-Graphikfenster
Eingabe des folgenden Befehls im Algebrafenster: ITERATES() wobei für die gewünschte Funktion eingesetzt werden muss, für der aus 2. gewonnene Startwert der Iteration und für die Anzahl der gewünschten Iterationsschritte.
Nun muss dieser Befehl ITERATES() approximiert werden. Dies geschieht durch Menü Vereinfachen Approximieren
Es erscheint darauf ein Eingabefenster, in dem die Stellenanzahl angegeben werden soll. Je genauer die einzelnen Werte gewünscht sind, desto höher muss der Wert gewählt werden. Es empfiehlt sich die Stellenanzahl 10, sodass eine Genauigkeit von () angebeben wird.
Nachdem man den Befehl zur Approximation gegeben hat, erscheinen die einzelnen Näherungswerte . 25
4.10 Durchführung einer Fixpunktiteration mit dem TI-83 Plus

Mit dem TI-83 lässt sich eine Fixpunktiteration wie folgt durchführen:

Wir betrachten mit .
Um in den Folgenmodus des Taschenrechners zu gelangen, drückt man Mode und wählt Seq (Folg). Danach geht man auf Y= , um den Y= Folgeneditor anzuzeigen. In diesem Editor kann man die Folgen u(n), v(n) und w(n) eingeben und anzeigen lassen. In unserem Beispiel gibt man nun für

u(n) ein. So ergibt sich
, wobei für eingegeben werden muss, da der nte Term der Folge in Bezug auf den vorgehenden Term oder den vorvorigen Term definiert ist. Um den Startwert der Folge zu bezeichnen, bestimmt man nMin. Durch die Festlegung von u(nMin) bestimmt man, an welcher Stelle die Annäherung beginnen soll (Startwert).
Hat man diese Werte bestimmt, so drückt man FORMAT und wählt Web, damit die Folge gezeichnet werden kann. Dazu wählt man GRAPH, sodass die der Graph der Funktion gezeichnet wird.
Da man den Fixpunkt betrachten möchte, vergrößert man den zu betrachtenden Bereich mithilfe der Zbox (Zoombox).
Um sich nun dem Fixpunkt graphisch zu nähern, drückt man TRACE. Es erscheint die Gleichung der Folge sowie der n-Wert bzw. der gewählte Startwert. Auch der Cursor mit dem man die graphische Annäherung vornimmt ist nun zu sehen. Die jeweiligen undWerte des Cursors werden ebenfalls angezeigt.
Die graphische Annäherung erfolgt indem man auf die rechte Steuerungstaste drückt. So wandert der Cursor gemäß der Folge, die sich an den Fixpunkt annähert. Der Weg, der von dem Cursor zurückgelegt wird, wird automatisch gezeichnet, sodass die Annäherung graphisch nachvollzogen werden kann. Hat man n-Schritte durchgeführt, so kann man den Fixpunkt bestimmen, da die Koordinaten des Cursors, der an den Fixpunkt konvergiert, angegeben werden.
In der Wertetabelle sind die einzelnen Approximationsschritte der Folge (des Cursors) abzulesen. So kann man nach n-Schritten den Fixpunkt sehr genau bestimmen und somit auch die Nullstelle von .26
5. Newtonverfahren
5.1 Einleitung (von Rasmus Ebel)
Das Fixpunktverfahren wies lineare Konvergenz auf, sowie erhebliche Kontraktionseinschränkungen für eine Approximation an den Fixpunkt. Es wird ein Verfahren gesucht, dessen Konvergenzordnung quadratisch bzw. noch höher liegt und dessen Kontraktionseinschränkungen geringer sind.
Hierzu betrachten wir das Newtonverfahren.

Vorerst werden wir das Newtonverfahren graphisch beschreiben, um anschließend eine Iterationsvorschrift zu entwickeln:
5.2 Graphische Darstellung der Newtoniteration (von Rasmus Ebel)
Abb.9 Graphische Darstellung der Newtoniteration

Beschreibung:
Man erkennt, dass am Startwert eine Tangente an dem Funktionsgraphen von f(x) im Punkt angelegt wurde. Die Nullstelle dieser Tangente liefert nun eine erste Annäherung für
und den nächsten Näherungswert.
5.3 Herleitung der Iterationsvorschrift (von Rasmus Ebel)

Wir entwickeln nun die allgemeine Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens:
Dazu werden wir die allgemeine Tangente für die Funktion im Punkt
herleiten.

Allgemeine Tangentengleichung:

Durch Umformung erhält man:

Nachdem nun die allgemeine Tangente im Punkt bestimmt wurde, muss nun noch die allgemeine Nullstelle gebildet werden:
Die Tangente besitzt die allgemeine Nullstelle bei

Diese Nullstelle der Tangente bildet den nächsten Näherungswert der Iterationsfolge. Damit gilt als Iterationsvorschrift für das Newtonverfahren:

Iterationsvorschrift für das Newtonverfahren:
Die Newtoniteration kann als Fixpunktiteration mit interpretiert werden.
5.4 Konvergenz (von Malte Igelmann)

5.4.1 Konvergenzbedingungen

Wir werden nun überprüfen, ob diese Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens Approximationsprobleme aufweist:

Im Gliederungspunkt 4.5.3 haben wir festgehalten, dass für eine Annäherung an eine Nullstelle gelten muss:
Wir bilden daher die allgemeine Ableitung von, um Konvergenzaussagen treffen zu können.

Man erhält für die allgemeine Ableitung von:
„Wegen und ist: “27

Bei der Newtoniteration gilt . Daraus lassen sich folgende Konvergenzaussagen treffen:
„Die Funktion sei für alle zweimal stetig differenzierbar und besitze in eine einfache Nullstelle , d.h. und . Dann gibt es ein abgeschlossenes Intervall mit als Mittelpunkt derart, dass die Iterationsfolge, für jeden Startwert gegen x' konvergiert.“28
( Sind die Bedingungen des Satzes erfüllt, konvergiert also eine Folge der
Newtoniteration immer gegen , sofern der Startwert hinreichend nahe bei
gewählt ist.29
Existieren für mehrere Nullstellen, so können aber auch bei der Newtoniteration
Probleme auftauchen. Durch Extrema von kann es passieren, dass sich die Folge mit dem Startwert nicht an die gewünschte Nullstelle annähert, sondern gegen eine (womöglich schon berechnete) Nullstelle konvergiert.
In diesem Ausnahmefall sollte man einen neuen Startwert in der Nähe der gewünschten Nullstelle wählen und erneut eine Approximation durchführen.
Auf die anderen Möglichkeiten der Problemlösung soll hier nicht weiter eingegangen werden.
5.4.2 Überprüfung der Konvergenzordnung

Dadurch, dass beim Newtonverfahren immergilt, konvergiert die Newtoniteration quadratisch() (siehe Gliederungspunkt 4.5.3) Wir bilden nun die zweite allgemeine Ableitung von um weitere Aussagen über die Konvergenz-ordnung treffen zu können:

Jetzt bestimmen wir die zweite allgemeine Ableitung von für :
Sofern nun nicht ist, konvergiert die Newtoniteration genau quadratisch. Bei ist noch höhere Konvergenz zu erwarten.30
5.5 Analyse des Newtonverfahrens (von Malte Igelmann)
Die Folge der Newtoniteration ist für jeden hinreichend nahen Startwert an die Nullstelle kontraktiv. Somit existieren keine direkten Konvergenzeinschränkungen.
Das Newtonverfahren besitzt in der Regel eine quadratische Konvergenzordnung. Diese Ordnung gewährleistet eine sehr schnelle Approximation an die Nullstelle. In Ausnahmefällen kann die Konvergenzordnung sogar höher sein. Zusammenfassend kann man daher sagen, dass das Newtonverfahren ein sicheres Verfahren mit hoher Konvergenzgeschwindigkeit ist. Jedoch ist der recht aufwendige Rechenweg zu beachten, da für jeden Schritt sowohl der Funktionswert, als auch die Ableitung für berechnet werden muss.
5.6 Newtonapproximation mittels Derive (von Rasmus Ebel)

Mithilfe der Newton-Funktion von Derive kann man die einzelnen Approximationsschritte der Newtoniteration berechnen lassen. Dafür muss folgende Befehlszeile im Algebrafenster verwendet werden:

NEWTON(
Wir wollen mithilfe der Newtoniteration die Nullstelle vonbestimmen. Nach Eingabe der Befehlszeile NEWTON(, 6) wählt man MenüVereinfachenApproximieren, um die ersten 6 Näherungswerte zu erhalten.
Abb.10 Screenshot des Algebrafensters
Will man die Durchführung des Verfahrens graphisch darstellen oder manuell nachvollziehen, so muss man die TANGENT-Funktion von Derive nutzen. Diese TANGENT-Funktion berechnet die Gleichung einer Tangente an der Stelle .
Dazu muss man folgende Befehlszeile angeben: TANGENT(
Anschließend wählt man MenüVereinfachenAlgebraisch, sodass die Funktion der Tangente an der Stelle angezeigt wird.
Wählt man nun noch MenüLösenAusdruck, wird die Nullstelle der Tangente und somit der erste Näherungsschritt angegeben.
Zeichnet man die Funktionen der Tangenten, ist die Iterationsfolge graphisch visualisiert.31

Die Durchführung ist im folgenden Screenshot dargestellt:
Abb. 11 graphische Darstellung der Anwendung der TANGENT-Funktion
5.7 Newtonapproximation mit dem GTR (TI-83 Plus)

Auch die Annäherungswerte der Newtoniteration lassen sich mit dem GTR (TI-83 Plus) berechnen. Dazu wählt man den Folgenmodus und gibt für die Folge der Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens an. Es folgt somit:

Will man mithilfe des GTR die Nullstelle der Funktion ermitteln, ergibt sich:

In der Wertetabelle des GTR ergeben sich nun gemäß der Folge die Näherungswerte. Auch graphisch lässt sich der Approximationsweg nachvollziehen:
5.8 Vereinfachtes Newtonverfahren
Um die Iterationsvorschrift anwenden zu können, muss je Approximationsschritt sowohl die Ableitung von als auch der Funktionswert für berechnet werden. Dieser Rechenaufwand zur Nullstellenbestimmung von kann trotz der quadratischen Konvergenz des Newtonverfahrens mitunter sehr langwierig sein. Um den Rechenaufwand für die Nullstellenapproximation zu reduzieren, kann man sich bei der Iteration ausschließlich auf die erste Ableitung im Startpunkt beschränken(). Dieses hat eine Verringerung der Konvergenzgeschwindigkeit zur Folge, sodass für eine Approximation mehr Schritte gebraucht werden.

Graphisch ist das vereinfachte Newtonverfahren folgendermaßen zu betrachten:
Abb.10 Graphische Darstellung des vereinfachten Newtonverfahrens

Beschreibung:
Aus der Abb.10 lässt sich erkennen, dass sich die Folge durch eine Tangentenverschiebung an die Nullstelle annähert. Es wird also nur die Ableitung im Startwert benutzt, sodass sich eine lineare Konvergenz der Iteration vom vereinfachten Newtonverfahren ergibt. 32
6. Sekantenverfahren

6.1 Einleitung
Das Newtonverfahren hat den Nachteil des erhöhten Rechenaufwandes. Nach jedem Approximationsschritt musste erneut die Ableitung für und der Funktionswert für berechnet werden. Durch das Sekantenverfahren (regula falsi) lässt sich dieser Aufwand reduzieren.
6.2 Herleitung der Iterationsvorschrift
Die Iterationsvorschrift lässt sich aus der Vorschrift des Newtonverfahrens herleiten.

Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens:

Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wird die Ableitung durch den Differenzenquotienten ersetzt. Man schreibt also im Sekantenverfahren anstelle der Ableitung den Differenzenquotienten:

So ergibt sich die neue Iterationsvorschrift:

Durch Umformung erhält man die allgemeine Iterationsvorschrift für das Sekantenverfahren:
Iterationsvorschrift für das Sekantenverfahren: 33,34
Man benötigt also 2 Startwerte undwobei (gilt. Das heißt, der Startwert muss weiter von der Nullstelle entfernt sein, als der Wert , um so den Differenzenquotienten bilden zu können.

Graphisch lässt sich das Sekantenverfahren folgendermaßen darstellen:
6.3 Graphische Darstellung der Sekanteniteration
Abb.11 Graphische Darstellung der Sekanteniteration

Beschreibung:
Es ist zu erkennen, dass die Iteration dem Newtonverfahren ähnlich ist. Man nähert sich jedoch der Nullstelle von über Sekanten an und nicht wie beim Newtonverfahren über Tangenten, da man zwei -Werte benötigt, um den nächsten Näherungswert zu erhalten.

6.4 Konvergenzaussagen:
Das Sekantenverfahren hat eine Konvergenzordnung von 1,618. Somit weist das Sekantenverfahren einen geringen Rechenaufwand sowie eine superlineare Konvergenz auf
Auf den Beweis der Konvergenz des Sekantenverfahrens muss im Rahmen dieser Arbeit verzichtet werden.
Die Erklärung dieser superlinearen, aber nicht quadratischen Konvergenzordnung beim Sekantenverfahren ist im Buch „Numerische Mathematik“ von Walter Oevel auf Seite 64 zu finden.

7. Fazit
In unserer Facharbeit haben wir vier Iterationsverfahren vorgestellt. Dabei sind wir besonders auf die allgemeine Fixpunktiteration, sowie die Newtoniteration eingegangen. Die Fixpunktiteration bildet die Basis der iterativen Nullstellenannäherung. Das grundlegende Prinzip, aus einem Nullstellenproblem ein äquivalentes Fixpunktproblem zu bilden, wird hier am deutlichsten.
Dieses Verfahren ist allerdings für eine Nullstellenapproximation nicht empfehlenswert.
Für eine iterative Nullstellenannäherung sollte man unserer Meinung nach bevorzugt das Newtonverfahren anwenden.
Aber auch das vereinfachte Newtonverfahren sowie die Sekanteniteration sind geeignete Methoden. Anhand der gegebenen Funktion ist zu entscheiden, welches Verfahren am sinnvollsten ist, da oftmals durch einen geringeren Rechenaufwand die schwächere Konvergenzordnung ausgeglichen werden kann.

8. Schlusswort
Bei der Umsetzung unserer Facharbeit haben wir uns bemüht, die iterative Nullstellenbestimmung für den Leser verständlich zu machen und haben deshalb unseren eigenen Lernprozess in die Facharbeit eingearbeitet. So mögen im Nachhinein einige Gliederungspunkte sehr ausführlich sein, jedoch sind wir der Meinung, dass gerade diese Ausführlichkeit nötig ist, um vorerst das Grundprinzip verstehen zu können.
Anfänglich half uns vor allem die Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung [4], da die Erklärungen ausführlich und verständlich waren. Nachdem wir uns für die iterative Nullstellenbestimmung ein Grundverständnis erarbeitet hatten, waren die Bücher „Einführung in die numerische Mathematik“ von Walter Oevel und Themenhefte Mathematik - Numerische Mathematik“ sehr aufschlussreich und übersichtlich.
Aber auch die Online-Hilfe von Derive sowie das Handbuch des GTR waren benutzerfreundlich gestaltet.
Überrascht sind wir von dem hohen Anwendungsspektrum des GTR und Derive.
Durch das Schreiben dieser Facharbeit sind wir sowohl mit der Thematik der Nullstellenannäherung als auch mit GTR und Derive vertrauter geworden.
Auch unsere Zusammenarbeit ist sehr zu unserer Zufriedenheit verlaufen.
Nach Anfänglicher Skepsis und Unsicherheit entwickelte sich das Arbeiten an der Facharbeit zu einem strukturierten, zielgerichteten Lernprozess.

Versicherung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlauf oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe.
Ich bin damit einverstanden, dass die von mir verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird.
Hildesheim, den 15. März 2005

Versicherung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlauf oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe.
Ich bin damit einverstanden, dass die von mir verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird.
Hildesheim, den 15. März 2005
Literaturverzeichnis
[1] Ade, Dr.; Schell, Prof. Dr. Hugo; Hans Themenhefte Mathematik. Numerische
Mathematik. 1. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1975
[2] Berry, John. Mathematik lernen mit DERIVE. Basel, Boston, Berlin; Birkhäuser,
1995
[3] Das große Tafelwerk interaktiv, Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II.
Berlin: Cornelsen Verlag 2003
[4] Hempel, Tino. „Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von
Funktionen und visualisierende Computerexperimente“. Hausarbeit
zur Ersten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien im Fach Numerische
Mathematik, an der Technischen Universität Chemnitz-Zwickau, Chemnitz, 29.
März 1996. http://www.tinohempel.de/info/mathe/iter/haus.pdf
[5] Meyer großes Taschenlexikon. In 25 Bänden 7., neu bearbeitete Auflage.
Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich Bibliographisches Institut-Taschenbuchverlag,
1999
[6] Oevel, Walter. „Einführung in die Numerische Mathematik“.
Spektrum-Hochschultaschenbuch. Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum
Akademischer Verlag, 1996
[7] Online Hilfe, Derive 6
[8] Tischel, Gerhard. Analysis Leistungskurs. Diesterweg
[9] TI 83 Plus, Handbuch. Texas Instruments
1 Meyers Lexikon, Stichwort: Iteration
2 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.5 [4]
3 vgl. Analysis Leistungskurs, Gerhard Tischel, S.101 [8]
4 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.4-5 [4]
5 siehe Meyers Lexikon, Stichwort: Konvergenz [5]
6 vgl. Analysis Leistungskurs, Gerhard Tischel S.101 [8]
7 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.13-14 [4]
8 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.14 [4]
9 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.15-16 [4]
10 siehe Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.19 [4]
11 siehe Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.16 [4]
12 siehe Einführung in die Numerische Mathematik S.52 [6]
13 siehe Einführung in die Numerische Mathematik S.52 [6]
14 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.16 [4]
15 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S.17-19 [4]
16 vgl. Einführung in die numerische Mathematik S. 43-50 [6]
17 siehe Einführung in die numerische Mathematik S. 48, Satz 4.4 [6]
18 siehe Das große Tafelwerk, Mittelwertsatz der Differenzialrechnung S.55 [3]
19 siehe Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S. 19 [4]
20 siehe Einführung in die numerische Mathematik S. 169, Satz 5.28 [6]
21 vgl. Hausarbeit zur ersten Staatsprüfung von Tino Hempel S. 21-22 [4]
22 vgl. Einführung in die numerische Mathematik S. 44 [6]
23 vgl. Einführung in die numerische Mathematik S. 52 [6]
24 siehe Einführung in die numerische Mathematik S.48 [6]
25 vgl. Derive 6 Online Hilfe; Stichwort: Folgen [7]
26 Handbuch, TI-83 Plus Kapitel 6, [9]
27 siehe Themenhefte Mathematik-Numerische Mathematik S.62 [1]
28 siehe Themenhefte Mathematik-Numerische Mathematik S.61, Satz 5 [1]
29 vgl. Themenhefte Mathematik-Numerische Mathematik S.62 [1]
30 vgl. Einführung in die numerische Mathematik S.56 [6]
31 Mathematik lernen mit DERIVE, Kapitel 8.1; [2]
32 vgl. Themenhefte Mathematik-Numerische Mathematik S.65-66 [6]
33 vgl. Einführung in die numerische Mathematik S.63-64 [6]
34 vgl. Themenhefte Mathematik-Numerische Mathematik S 53-54 [1]

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