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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Rotationskörper > Steinerscher Satz

Bis jetzt haben wir gelernt, Rotationen um Symmetrieachsen zu beschreiben, indem wir das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse berechnet haben. Wollen wir nun die Rotation um eine andere als die Symmetrieachse berechnen, geraten wir in Schwierigkeiten. Bei der Berechnung des Trägheitsmoments haben wir uns die Symmetrie zunutze gemacht, um mit geeigneten Koordinaten rechnen zu können. Nun müssen wir uns darauf aufbauend eine Möglichkeit überlegen, die Rotation um beliebige Achsen zu berechnen. Dabei wollen wir uns aber auf Achsen beschränken, die parallel zur Symmetrieachse verlaufen.
Gegeben sei das Trägheitsmoment um die Symmetrieachse S. Gesucht ist das Trägheitsmoment um die dazu parallele Achse A. In der Skizze sind die Radiusvektoren eines Massepunktes m von den Achsen eingezeichnet.
sei der Radiusvektor bezüglich S
sei der Radiusvektor bezüglich A und
sei der Abstand der Achsen S und A.
Dann gilt
Daraus folgt für das Trägheitsmoment bezüglich A mit
laut Definition ist
mit konstantem Abstand d und der Gesamtmasse M gilt
Da Projektion von auf ist, d.h. das Integral die Schwerpunktsdefinition bezüglich der Richtung von ist, folgt

Zusammengefasst gilt dann:

IA = Is + M d2
Diese einfache Formel zum Berechnen eine Trägheitsmoment bezüglich einer Rotationsachse parallel zu Symmetrieachse wird Steinerscher Satz genannt.
Steinerscher Satz: Ist Is das Trägheitsmoment für eine Rotationsachse durch den Schwerpunkt, so gilt für eine parallele Achse durch A im Abstand d zur Rotationsachse IA = Is + M d2.

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