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Facharbeit: Evoluten und Evolventen in der heutigen technischen Mechanik

Alles zu Differentialrechnung und Ableitungen

VOLUTE & VOLVENTE



I Inhaltsverzeichnis

I Inhaltsverzeichnis
II Einleitung
II.1 Vorwort
III Grundbegriffe der Differentialgeometrie
III.1 Parameterdarstellung
III.2 Differentialoperator
III.3 Krümmungswerte
III.3.1 Krümmung einer ebenen Kurve
III.3.2 Krümmungsradius
III.3.3 Krümmungskreis
IV Themenerläuterung
IV.1 Evolute
IV.1.1 Definition
IV.1.2 Herleitung
IV.1.3 Bestimmung der Evolute der Normalparabel
IV.1.4 Bestimmung der Evolute einer Ellipse
IV.2 Evolvente
IV.2.1 Definition
IV.2.2 Kreisevolvente
IV.2.3 Evolute der Kreisevolvente
V Schluss
V.1 Zusammenfassung
V.2 Reflexion
VI Anhang
VI.1 Hüllkurve
VI.2 Rechnung 1
VI.3 Evolventenverzahnung
VI.4 Rechnung 2
VI.5 Rechnung 3
VI.6 Internetquellen .
VI.6.1 Euler, Leonhard
VI.6.2 Huygens, Christiaan
VI.6.3 Neil, William
VI.6.4 von Samos, Pythagoras
VII Quellennachweis
VII.1 Literatur
VII.2 zusätzliche Literaturhinweise
VII.3 Abbildungen
VII.4 Internet
VII.5 Hilfsmittel
VIII Schülererklärungen

II Einleitung

II.1 Vorwort

Evoluten und Evolventen spielen in der heutigen technischen Mechanik eine wichtige Rolle, wobei letzteres, die Evolvente (nach [VII.1]: [9], S.1f.) ihre bedeutendste Anwendung in der

Verzahnungsgeometrie findet. In Zahnradgetrieben stellt die Evolvente die Form einer Zahnradflanke dar. Die Evolventenverzahnung ist somit die Grundlage für Zahnräder, die wiederum als Elemente für Drehbewegungen in verschiedenen Maschinen vorkommen. 1762 schlug der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler1 (siehe [VII.1]: [9], S. 32) die Kreisevolvente als Profilform für Zahnflanken vor, es vergingen jedoch etwa 100 Jahre bis diese Verzahnungsart der Kreisevolvente technisch einsetzbar wurde. Doch die Geschichte der Evolute und der Evolvente begann (vgl. [VII.1]: [6], S. 68) bereits vor ungefähr 350 Jahren, als der niederländische Mathematiker, Physiker und Astronom Christiaan Huygens2 1673 zum ersten Mal die Begriffe Evolute und Evolvente eingeführt und die Evolute als Hüllkurve gekennzeichnet hat.

Ziel meiner Facharbeit ist es die Mathematik, um genauer zu sein die Differentialgeometrie, mit der sich Huygens beschäftigt hat,

darzustellen. Dennoch werde ich mich bemühen, nicht nur die geometrischen Daten für das Verständnis zu erläutern, sondern auch versuchen, die Vorstellungskraft mit anschaulichen Skizzen und Funktionsgraphen zu stärken. Zur Einführung möchte ich die

wichtigsten Bezeichnungen möglichst mathematisch definieren, um diese Hilfsmittel später in der Herleitung der Evolute aus expliziter und Parameterform der Ausgangsfunktionen zu benutzen, welches der Schwerpunkt dieser schriftlichen Arbeit sein soll. Die Evolvente wird dabei nur in Zusammenhang erläutert, weil sie im Maschinenbau eine größere Bedeutung hat.

Euler, Leonhard: * 15. 4. 1707 (Basel), 18. 9. 1783 (St. Petersburg) (vgl. [VI.6.1]). 2 Huygens, Christiaan: * 14. 4. 1629 (Den Haag), 8. 7. 1695 (Den Haag) (vgl. [VI.6.2]).

III Grundbegriffe der Differentialgeometrie

Die hier vorgestellte Differentialgeometrie (auch als euklidische Differentialgeometrie bekannt) ist (nach [VII.1]: [8], S.1) ein Teilgebiet der Mathematik und stellt eine Verschmelzung aus der Analysis und Geometrie dar. Sie beschäftigt sich mit Kurven, Flächen und deren Krümmungseigenschaften basierend auf dem euklidischen Raum in n-beliebigen Dimensionen, der als IE n oder auch IR n (mit

n > 0 ) bezeichnet wird. Wir betrachten hier jedoch nur eine Ebene, ein

zweidimensional reeller Raum IR 2 .

III.1 Parameterdarstellung

Abb. [1]: Einheitskreis

Die Darstellung von Kurven im IR 2 durch eine algebraische, explizite Gleichung in der Form y = f (x) ist (nach [VII.1]: [7], S. 328) oft

unübersichtlich, weil als Beispiel der Einheitskreis x2 + y2 = 1 durch zwei Funktionen, dem oberen Halbkreis (1)

y = 1 - x2

und dem unteren Halbkreis

(2)

y = - 1 - x2

(3)

beschrieben werden muss. Durch die Parameterdarstellung kann ein geometrisches Objekt mit geeigneten Koordinaten x = x(t ), y = y (t )
explizit beschrieben werden, wobei alle Teilfunktionen von demselben Parameter t abhängen. Der Parameter ist eine unabhängige und veränderliche Variable, durch die sich wiederum eine andere Variable beschreiben lässt. Meist wird die Zeit t als Parameter verwendet. Als Beispiel wird x = sin t in den oberen Halbkreis (2) eingesetzt und

man erhält nach dem trigonometrischen Pythagoras3 (vgl. mit [VII.1]: [11], S. 16):

y = 1 - sin 2 t = cos t .

Somit hat man

x = sin t , y = cos t

(4)

bereits als Parameterdarstellung des Einheitskreises mit t [0;2 ] . Es

ist jedoch zu beachten, dass sich der Definitionsbereich beim Einsetzen eines Parameters nicht verändert.

III.2 Differentialoperator

Der Differentialoperator

d ist eine Transformationsvorschrift, die dx

das Ableiten nach x ausdrückt. Die Ableitung nach dem Parameter lautet (aus [VII.1]: [12], S. 496):

dy & =y dt

(5)

dx (6) & =x dt Die Ableitung einer Funktion nach t in Parameterdarstellung kann man

(nach [VII.1]: [3], S. 452) durch einen Punkt kennzeichnen und erhält damit:

y =

& dy y = & dx x

(7)

Demnach lautet die zweite Ableitung einer Funktion nach t:

y = &y & x d 2 y x&& - y&& = 2 & dx x3

(8)

von Samos, Pythagoras: * um 580 v. Chr., um 496 v. Chr. (vgl. [VI.6.4])

III.3 Krümmungswerte III.3.1 Krümmung einer ebenen Kurve

Abb. [2]: Krümmungen einer ebenen Kurve, links: Linkskrümmung; rechts: Rechtskrümmung

Es sei eine Kurve G explizit durch eine zweimal stetig differenzierbare Funktion y = f (x) gegeben. Die Krümmung k der Kurve G in einem Punkt P1 G ist (nach [VII.1]: [2], S. 103 und [3], S. 452) definiert als Verhältnis der Änderung des Steigungswinkels der Tangenten an G im Punkt P und einem Nachbarpunkt P2 G zur Bogenlänge 1 s zwischen

P 1 und P2.

Falls der Grenzwert dieses Differenzenquotienten für s 0 existiert, dann heißt dieser Grenzwert Krümmung k von G in P , was man wie folgt berechnen 1 kann:

Da (arctan x) = 1 gilt, folgt aus = arctan f ( x) (aus [VII.1]: [2], 1 + x2

S. 103 und vgl. dazu [11], Ableitungsfunktionen: S.33):

f ( x) d 1 = [ f ( x)] = 2 dx 1 + [ f ( x)] 1 + [ f ( x)] 2 Nach d umgeformt ergibt sich somit:

d = f ( x ) dx 1 + [ f ( x )]2

(9)

Das Bogendifferential (aus [VII.1]: [12], S. 497) kann nach Pythagoras durch ds 2 = dx 2 + dy 2 ausgedrückt werden, nun wird (7) nach dy umgeformt und eingesetzt, hierbei liegt die explizite Kurvengleichung y = f (x) zugrunde. Es gilt:

ds = dx 2 + dy 2 = dx 2 + [ f ( x)] 2 dx 2 = dx 2 (1 + [ f ( x)] 2 ) = 1 + [ f ( x)] 2 dx

ds = 1 + [ f ( x )]2 dx

(10)

Durch Bildung des Quotienten aus dem Steigungswinkel (9) und dem Bogendifferential (10) ergibt sich die Krümmung k e :

ke = lim = f ( x) dx 1 d = = 2 s 0 s ds 1 + [ f ( x)] 1 + [ f ( x)] 2 dx f ( x)

(1 + [ f ( x)] 2 ) 2 dx f ( x) f ( x) dx = = 3 dx 1 + [ f ( x)] 2 (1 + [ f ( x)] 2 ) 2

(1 + [ f 2 ( x)] 2 2) dx 1()3

Vereinfacht lautet die Krümmungsformel (vgl. [VI.I.1]: [3], S. 452):

ke = y (1 + y 2 ) 3

(11)

Ist die Kurve in Parameterdarstellung x = x(t ), y = y (t ) gegeben, ergibt sich analog zu (10) das Bogendifferential (aus [VII.1]: [12], S. 497):

ds = & & x 2 + y 2 dt

(12)

Nun werden (7) und (8) in die angegebene Krümmungsformel aus (11) eingesetzt und hieraus ergibt sich die Krümmung k p (nach [VII.1]: [3], S. 452 und vgl. dazu [2], S.104) für Kurven in Parameterdarstellung: kp = y 1 + y2

3 2 x2 y2 2 & & & y & & x3 1 + x3 2 + 2 x & & x x & &y & x &y & x &y & x x&& - y&& x&& - y&& x&& - y&& = = = 3 3 3 3 3 x 2 + y 2 2 2 x 2 + y 2 2 (x 2 + y 2 ) 2 & & & & & & x & & & x2 x2 x2 & & x2

= &y & x x&& - y&&

3 = &y & x x&& - y&&

3 kp = &y & x x&& - y&& & & (x 2 + y 2 )3

(13)

III.3.2 Krümmungsradius

Der Krümmungsradius r am Punkt P ist (nach [VII.1]: [2], S. 103) der absolute Betrag des Kehrwerts der Krümmung. Denn z.B. ein Kreis mit kleinem Radius hat eine stärkere Krümmung, d. h. je größer die Krümmung desto kleiner der Radius, dann gilt:

re = 1 = ke (1 + y 2 ) 3 y

(14)

Ist die Kurvengleichung wieder in Parameterdarstellung gegeben, ergibt sich, mit der Krümmung aus (13), analog zu (14) folgender Krümmungsradius (aus [VII.1]: [12], S. 498):

rp = 1 kp = & & (x 2 + y 2 )3 &y & x x&& - y&&

(15)

III.3.3 Krümmungskreis

Der zugehörige Kreis zum Krümmungsradius wird (nach [VII.1]: [2], S. 103) als Krümmungskreis K bezeichnet. Dieser berührt die Kurve in P mit mindestens übereinstimmender erster und zweiter Ableitung, so wird die Kurve durch den Krümmungskreis (auch Schmiegkreis genannt) in einer hinreichend kleinen Umgebung von P approximiert.

Abb. [3]: Krümmungskreis K, Krümmungsradius und Krümmungsmittelpunkt M

Die Gesamtheit aller Krümmungsmittelpunkte, also die Mittelpunkte der Krümmungskreisschar einer Kurve, liegt auf einer Ortskurve, die als Evolute bezeichnet wird, wobei die Ausgangskurve Evolvente genannt wird.

IV Themenerläuterung

IV.1 Evolute IV.1.1 Definition

Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte.4

Es bilden also die Krümmungsmittelpunkte der Ausgangskurve (nach [VII.1]: [3], S. 453 und [1], S.463) die Evolute, somit sind die Gleichungen für die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gerade die Parameterdarstellung der Evolute, wobei und die laufenden Koordinaten darstellen. Ferner kann die Evolute auch als Hüllkurve (siehe Anhang [VI.1]) der Normalen der Ausgangskurve aufgefasst werden. In diesem Falle sind die Normalen der gegebenen Kurve gleichzeitig die Tangenten der Evolute.

IV.1.2 Herleitung

Die Parameterdarstellung der Evolute, für eine Kurve zur Funktionsgleichung y = f (x) an der Stelle x bzw. für eine Kurve in Parameterform x = x(t ), y = y (t ) mit t als Parameter, ergibt sich aus den Formeln für die Koordinaten , des Krümmungsmittelpunktes (aus [VII.1]: [12], S. 499), die wie folgt lauten:

= x-r dy dx , = y + r ds ds

(16)

Häufiger findet man die Formeln aus (16) für eine Funktion y = f (x) jedoch in einer anderen Gestalt, die man erhält, wenn das Bogendifferential aus (10) und der Krümmungsradius aus (14) in (16) eingesetzt werden. Für siehe die Schreibweise desDifferentialoperators der ersten Ableitung aus (7):

Zitat aus [VI.1]: [3], S. 453

= x-r (1 + y 2 ) 3 dy dy = x- y ds 1 + y 2 dx 3 dy (1 + y 2 ) 2 1 1 + y2 = x - y = x- 1 dx y y 2 2 (1 + y )

= y+r (1 + y 2 ) 3 dx dx = y+ ds y 1 + y 2 dx 3 2 2 y )

= y+ dx (1 + 1 1 + y2 = y+ 1 dx y y 2 2 (1 + y ) 1 + y2 1 + y2 , = y + y y

= x - y

(17)

Wenn die Gleichung der Kurve in Parameterdarstellung gegeben ist, setzt man das Bogendifferential aus (12) und den Krümmungsradius aus (15) in (16) ein, so lauten die zu (17) analogen Ausdrücke, wenn man bei der Ableitung nach dem Parameter t die Schreibweise des Differentialoperators aus (5) und (6) beachtet:

(18)

IV.1.3 Bestimmung der Evolute der Normalparabel

Die zu untersuchende explizite Funktionsgleichung der Normalparabel (aus [VII.1]: [11], S. 30) lautet:

y = x2

Die erste Ableitung und zweite Ableitung von y (19) nach x sind:

y = 2 x y = 2

(19)

(20) (21)

Es werden (20) und (21) in die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes aus (17) eingesetzt, hieraus ergeben sich:

1 + y2 1 + (2 x) 2 = x - 2x y 2

= x - y =

2 x 2 x(1 + 4 x 2 ) 2 x - 2 x - 8 x 3 - = = -4 x 3 2 2 2 1 + y2 1 + (2 x) 2 = x2 + y 2

= y+ = 2x2 1 + 4x2 1 + 6x2 1 + = = 3x 2 + 2 2 2 2 = -4 x 3 , = 3 x 2 + 1 2

(22)

Die Evolute der Normalparabel ist (nach [VII.1]: [1], S. 326) eine Neilsche Parabel (nach dem englischen Mathematiker William Neil5) oder auch die so genannte semikubische Parabel. Sie ist eine Kurve dritter Ordnung.

Abb. [4]: Normalparabel (blau) und ihre Evolute, die Neilsche Parabel (grün)

Neil, William: * 1637, 1670 (vgl. [VI.6.3])

IV.1.4 Bestimmung der Evolute einer Ellipse

Die Parameterdarstellung der Ellipse (aus [VII.1]: [10], S. 139) lautet: x = a cos t , y = b sin t damit (komplette Rechnung siehe Anhang [VI.2]): (23)

Die Evolute der Ellipse ist die Astroide und ihre Gleichung nach (18)

= a2 - b2 b2 - a 2 cos 3 t , = sin 3 t a b

(24)

Abb. [5]: Ellipse (grau) mit a=2 und b=4, und ihre Evolute, die Astroide (rot)

IV.2 Evolvente IV.2.1 Definition

Die Evolvente ist eine Abwicklungskurve [lat. evolvere, hervorwälzen oder herauswickeln].6

Zur Darstellung einer Evolvente denken wir uns (nach [VI.1]: [3], S. 453) einen nicht dehnbaren Faden, der in einem Kurvenpunkt A auf einer gekrümmten Kurve befestigt ist (siehe Abb. [6], rechts). Unter Betrachtung eines weiteren Punktes B1 des Fadens und seiner Bahn

Zitat aus [VI.1]: [3], S. 453

beim Abwickeln des straff gehaltenen Fadens von der Kurve, erhalten wir eine neue Kurve, sie ist eine Evolvente der Ausgangskurve. Zu jeder gegebenen Kurve gehört eine ganze Schar von Evolventen, denn jeder Punkt B beschreibt eine andere Evolvente. Der abgewickelte Teil des Fadens ist jeweils Tangente der Ausgangskurve, weil der Faden gespannt abgewickelt wird. Um den jeweiligen Tangentenberührungspunkt beschreibt Punkt B einen infinitesimalen Kreisbogen als Element der Evolvente. So folgt hieraus, dass der abgewickelte Fadenteil Normale der Evolvente ist, da sich Tangenten der Ausgangskurve orthogonal mit den Evolventen schneiden.

Abb. [6]: Evolute (links) und Evolventenschar einer ebenen Kurve (rechts)

Es ergeben sich folgende Sätze:

Die Evolventen einer ebenen Kurve sind die orthogonalen Trajektorien (rechtwinklig schneidende Kurven) der

Tangenten an die Ausgangskurve. Jede Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen. Jede Kurve ist eine Evolvente ihrer Evolute.

Die Gleichung der allgemeinen Evolvente (aus [VI.1]: [6], S. 66, vgl. dazu [4], S. 79 und [3], S. 454) lautet:

= x + ( s 0 - s ) x , = y - ( s 0 + s ) y

IV.2.2 Kreisevolvente

(25)

Im Maschinenbau stellt die Evolvente des Kreises (siehe Abb. [7]), also die Kreisevolvente (nach [VI.1]: [9], S. 1 und [3], S. 454), bei der Evolventenverzahnung (siehe Anhang [V.3]) die Profilkurve der Zahnflanken dar.

Zitat aus [VI.1]: [3], S. 454

Abb. [7]: Kreisevolvente

Die Parameterdarstellung der Kreisevolvente (aus [VI.1]: [3], S. 454) ist nach (25):

x(t ) = r (cost + t sin t ), y(t ) = r (sin t - t cost )

IV.2.3 Evolute der Kreisevolvente

(26)

Laut den Folgerungen aus [IV.2.1] bilden also Orthogonaltrajektorien der Tangenten an die Evolute die Evolventen, deren Krümmungsmittelpunkte wiederum die Evolute ergeben. Woraus letztlich folgt, dass die Ausgangskurve der Evolvente die Evolute sein muss. Um dies zu beweisen kann die Evolute der Kreisevolvente bestimmt werden (siehe Anhang [VI.4]).

= r cos t , = r sin t

(27)

Somit ist bestätigt, dass die Evolute der Kreisevolvente die Ausgangskurve, nämlich der Kreis, selbst ist. Übrigens ist noch zu erwähnen, dass die Evolute des Kreises sein eigener Mittelpunkt ist (siehe Anhang [VI.5]), da sich folgende Koordinaten ergeben:

= 0, = 0

(28)

V Schluss

V.1 Zusammenfassung

Funktion Krümmung k ke = y = f (x) y (1 + y 2 ) 3 kp = x(t ), y (t ) &y & x x&& - y&& & & (x 2 + y 2 )3

Krümmungsradius r

V.2 Reflexion

Rückblickend lässt sich sagen, dass ich die Evolvente gerne etwas genauer darstellen wollte, welches mir aber nicht gelungen ist, da ich überwiegend mathematische Fachliteratur über die Evolute gefunden habe. Im Vergleich zur Evolute gibt es ein großes Spektrum an Beispielen, jedoch existieren kaum Beispielrechnungen zur Evolvente. Überrascht hat mich dann die Tatsache, dass in Literatur vorkommende Definitionen der Evolvente oft die der Kreisevolvente sind, diese aber eigentlich nur einen Spezialfall der allgemeinen Evolvente darstellt. Meiner Meinung nach erweckt eine Nicht- Differenzierung schnell den Anschein, dass es sich bei der Kreisevolvente um die Evolvente handelt, deshalb habe ich in meinem Definitionsansatz versucht, die Kreisevolvente von der allgemeinen Evolvente hervorzuheben.

Den geschichtlichen Hintergrund habe ich mit der Erwähnung Huygens angeschnitten, aber aufgrund mangelnder Literatur nicht zur Entfaltung gebracht.

Abschließend will ich noch zum Ausdruck bringen, dass Huygens und andere Mathematiker seiner Epoche nicht so sehr an einer logischen Begründung der hergeleiteten Resultate interessiert waren, sondern vielmehr Wert auf die Methode der Herleitung und das Resultat gelegt haben. Dies bestätigt die Denkweise Huygens 1657:

Um das Vertrauen der Experten zu erreichen, ist es von keinem großen Interesse, ob wir entweder eine absolute Demonstration oder eine solche Grundlegung (des Resultats) geben [...]. Ich gebe gerne zu, dass es (das Resultat) in einer klaren, eleganten und genialen Form dargestellt werden soll [...]. Aber das erste und wichtigste Ding ist die Art der Entdeckung selbst, an deren Kenntnis sich die Gelehrten erfreuen. Daher scheint es, dass wir zu allererst der Methode zu folgen haben [...]. Wir ersparen uns dadurch die Arbeit des Schreibens und anderen die des Lesens. [...]

Zitat Huygens aus [VI.1]: [5], S. 218

VI Anhang

VI.1 Hüllkurve

Die Astroide in der Parameterdarstellung (aus [VII.1]: [10], S. 140) lautet:

= cos 3 t , = sin 3 t

(29)

Die so genannte Sternkurve (nach [VII.1]: [6], S. 71) erscheint auch als ,Einhüllende der Normalen", z.B. als Enveloppe der Ellipsenschar. Diese Ellipsen sind (nach [VII.1]: [10], S. 141) durch die Summe der Halbachsen gekennzeichnet, die jeweils gleich 1 ist.

Abb. [8]: Die Astroide als Hüllkurve

VI.2 Rechnung 1: Bestimmung der Evolute einer Ellipse

Die erste Ableitung und zweite Ableitung von x und y (23) nach t sind:

& & x = - a sin t , y = b cos t && = - a cos t , && = - b sin t x y

(30) (31)

Es werden (30) und(31) in die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes aus (18) eingesetzt, dabei wird der trigonometrische Pythagoras (aus [VII.1]: [11], S. 16) sin 2 t + cos 2 t = 1 verwendet, um den Term zu vereinfachen:

(32)

& = x- y

& & x2 + y2 &y & x x&& - y&&

(- a sin t ) 2 + (b cos t ) 2 (-a sin t ) (-b sin t ) - (b cos t ) (-a cos t )

= a cos t - b cos t = a cos t -

a 2 b cos t sin 2 t + b 3 cos 3 t ab sin 2 t + ab cos 2 t a cos t ab a 2 b cos t sin 2 t + b 3 cos 3 t = - ab ab (sin 2 t + cos 2 t )

a 2 b cos t - a 2 b cos t sin 2 t - b 3 cos 3 t ab 1 sin 2 t - a 2b cos 3 t a 2 b - b3 2 2 cos t cos t = ab cos 2 t 1 - sin 2 t cos 3 t a 2 b - b3 - b 3 cos 3 t a 2 b 2 2 cos t cos t = = ab ab cos 3 t (a 2 b - b 3 ) b cos 3 t ( a 2 - b 2 ) a 2 - b 2 = = = cos 3 t ab ab a =

& = y + x

& & x2 + y2 &y & x x&& - y&& (- a sin t ) 2 + (b cos t ) 2 (- a sin t ) (-b sin t ) - (b cos t ) (- a cos t )

= b sin t + (- a sin t ) = b sin t - a sin t

a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ab sin 2 t + ab cos 2 t b sin t ab a 3 sin 3 t + ab 2 sin t cos 2 t = - ab ab 2 3 3 2 ab sin t - a sin t - ab sin t cos 2 t = ab 1 cos 2 t sin 3 t ab 2 2 - a 3 - ab 2 sin t sin 2t = ab 1 - cos 2 t sin 2 t sin 3 t ab 2 - a 3 sin 3 t ab 2 2 - a 3 2 sin t sin t = = ab ab sin 3 t (ab 2 - a 3 ) a sin 3 t (b 2 - a 2 ) b 2 - a 2 = = = sin 3 t ab ab b

VI.3 Evolventenverzahnung

Abb. [9]: Verfahren zur technischen Erzeugung evolventischer Zähne

VI.4 Rechnung 2: Bestimmung der Evolute der Kreisevolvente

Die erste Ableitung und zweite Ableitung von x und y (26) nach t werden bestimmt

& & x = rt cos t , y = rt sin t && = r cos t - rt sin t , && = rt cos t + r sin t x y (33) (34)

und anschließend in die Gleichung für den Krümmungsmittelpunkt eingesetzt, nach (18) ergibt sich dann folgende Parameterdarstellung:

& & x2 + y2 &y & x x&& - y&& (rt cos t ) 2 + (rt sin t ) 2 (rt cos t )(rt cos t + r sin t ) - (rt sin t )(r cos t - rt sin t )

& = x- y & = x- y & = x- y

r 2 t 2 cos 2 t + r 2 t 2 sin 2 t r 2 t 2 cos 2 t + r 2 t sin t cos t - r 2 t sin t cos t + r 2 t 2 sin 2 r 2 t 2 cos 2 t + r 2 t 2 sin 2 t & & = x - y 1 = x- y 2 2 r t cos 2 t + r 2 t 2 sin 2 t = r (cos t + t sin t ) - rt sin t = r cos t + rt sin t - rt sin t = r cos t analog:

& = y + x

& & x2 + y2 & = y + x 1 = r (sin t - t cos t ) + rt cos t &y & x x&& - y&&

= r sin t - rt cos t + rt cos t = r sin t

VI.5 Rechnung 3: Bestimmung der Evolute des Kreises

Die erste Ableitung und zweite Ableitung von x (4) nach t

& x = cos t && = - sin t x

und die erste Ableitung und zweite Ableitung von y (4) nach t & y = - sin t && = - cos t y

(35) (36)

(37) (38)

& = x- y

& & x2 + y2 cos 2 t + sin 2 t = sin t - sin t = 0 = sin t + sin t &y & x x&& - y&& - cos 2 t + sin 2 t

analog:

& = y + x

& x2 + &y x&& -

& y2 = cos t + cos t (-1) = cos t - cos t = 0 &x y&&


VI.6 Internetquellen VI.6.1 Euler, Leonhard

VI.6.2 Huygens, Christiaan

VI.6.3 Neil, William

VI.6.4 von Samos, Pythagoras

siehe [VII.4]: [1]

VII Quellennachweis

VII.1 Literatur

[1] BARTSCH, Hans- Jochen: Taschenbuch mathematischer Formeln. 19., neu bearbeitete Auflage. Leipzig: Carl- Hanser Fachbuchverlag, 2001. [2] BEYER, O.: Mathematik Ratgeber. Für Lehrer, Schüler, Eltern und zum Selbststudium. 2. völlig neu bearbeitete Auflage. Frankfurt am Main: Harri Deutsch, 1988. [3] BIRNBAUM, Heinz: Grundkurs Mathe Physik Chemie. 5., verbesserte Auflage. Leipzig: Fachbuchverlag, 1992. [4] GÖHLER, Wilhelm: Formelsammlung. Höhere Mathematik. 15., korrigierte Auflage. Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch, 2004. [5] KAISER, Hans/NÖBAUER, Wilfried: Geschichte der Mathematik. 2., erweiterte Auflage. München: Oldenbourg, 1998. [6] KLOTZEK, Benno: Einführung in die Differentialgeometrie. 3., überarbeitete Auflage. Frankfurt am Main: Harri Deutsch, 1997. [7] KNERR, Richard: Goldmann Lexikon Mathematik. München: Bertelsmann Lexikonverlag, 1999. [8] KÜHNEL, Wolfgang: Differentialgeometrie. Kurven Flächen Mannigfaltigkeiten. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Braunschweig/ Wiesbaden: Vieweg, 2005. [9] ROTH, Karl- Heinz: Zahnradtechnik, Stirnrad- Evolventenverzahnung. 2. Auflage. Berlin: Springer, 2001. [10] SCHEID, Harald: Duden Rechnen und Mathematik. 6., überarbeitete Auflage. Mannheim: Dudenverlag, 2000. [11] SIEBER, Helmut/HUBER, Leopold: Mathematische Begriffe und Formeln. Überarbeitete Auflage. Stuttgart: Klett Verlag, 1986. [12] STÖCKER, Horst: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Thun und Frankfurt am Main: Harri Deutsch, 1995.

VII.2 zusätzliche Literaturhinweise

[1] GIBSON, C.G.: Elementary Geometry of Differentiable Curves. An Undergraduate Introduction. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

[2] KLINGENBERG, Wilhelm: Klassische Differentialgeometrie. Eine Einführung in die Riemannsche Geometrie. Edition am Gutenbergplatz Leipzig: Eagle, 2004. [3] MERZIGER, Gerhard/WIRTH, Thomas: Repetitorium der höheren Mathematik. 4. Auflage. Springe: Verlag Binomi, 2002.

VII.3 Abbildungen

Abb.[1]: erstellt mit Mathematica 5. Input: p1=ParametricPlot[ {Cos[t],Sin[t]},{t,0,2},AspectRatioAutomatic,FrameTr ue,AxesLabel{x,y},PlotStyleRGBColor[0,0,1]]. Abb.[2]: siehe Literatur [3], S. 452. Abb.[3]: siehe Literatur [3], S. 453. Abb.[4]: erstellt mit Mathematica 5. Input: p5=Plot[{x^2},{x,5,5},PlotRange{0,5},FrameTrue,GridLinesAutomatic, AxesLabel{x,y},PlotStyleRGBColor[0.5,0.5,0.5]];p6=Pa rametricPlot[{4*x^3,3*x^2+0.5},{x,2,2},PlotRange{0,5}, FrameTrue,GridLinesAutomatic,AxesLabel{x,y},PlotS tyleRGBColor[0,1,0]]; Show[{p5,p6}]. Abb.[5]: erstellt mit Mathematica 5. Input: p2=ParametricPlot[ {2*Cos[t],3*Sin[t]},{t,0,2},AspectRatioAutomatic,Frame True,GridLinesAutomatic,AxesLabel{x,y},PlotStyle RGBColor[0.5,0.5,0.5]];p3=ParametricPlot[{3*Cos[t]^3,2*S in[t]^3},{t,0,2},AspectRatioAutomatic,FrameTrue,Grid LinesAutomatic,AxesLabel{x,y},PlotStyleRGBColor[1 ,0,0]];Show[{p2,p3}, PlotRangeAll]. Abb.[6]: siehe Literatur [3], S. 453. Abb.[7]: siehe Literatur [3], S. 454. Abb.[8]: siehe Literatur [10], S. 141.

VII.4 Internet

[1] www.wissen.de

VII.5 Hilfsmittel

[1] ADOBE: Adobe Photoshop Elements 3.0 (3.0x205). Version: 5.1 Service Pack 2. Adobe Systems Inc., 2004. (mit dieser Software wurden die in dieser Arbeit gescannten Grafiken verbessert) [2] WOLFRAM, Stephen: Mathematica 5. Version 5.0.0.0. Wolfram Research, Inc., 1988 2003. (mit dieser Software wurden die in dieser Arbeit abgebildeten Funktionsgraphen erstellt)
Inhalt
Evoluten und Evolventen spielen in der heutigen technischen Mechanik eine wichtige Rolle, wobei letzteres, die Evolvente (nach
[VII.1]: [9], S.1f.) ihre bedeutendste Anwendung in der Verzahnungsgeometrie findet. In Zahnradgetrieben stellt die Evolvente
die Form einer Zahnradflanke dar. Die Evolventenverzahnung ist somit die Grundlage für Zahnräder, die wiederum als Elemente für
Drehbewegungen in verschiedenen Maschinen vorkommen. 1762 schlug der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler (siehe
[VII.1]: [9], S. 32) die Kreisevolvente als Profilform für Zahnflanken vor, es vergingen jedoch etwa 100 Jahre bis diese Verzahnungsart der
Kreisevolvente technisch einsetzbar wurde. Doch die Geschichte der Evolute und der Evolvente begann (vgl. [VII.1]: [6], S. 68) bereits vor
ungefähr 350 Jahren, als der niederländische Mathematiker, Physiker und Astronom Christiaan Huygens2 1673 zum ersten Mal die Begriffe
Evolute und Evolvente eingeführt und die Evolute als Hüllkurve gekennzeichnet hat.
Ziel meiner Facharbeit ist es die Mathematik, um genauer zu sein die Differentialgeometrie, mit der sich Huygens beschäftigt hat,
darzustellen. Dennoch werde ich mich bemühen, nicht nur die geometrischen Daten für das Verständnis zu erläutern, sondern auch
versuchen, die Vorstellungskraft mit anschaulichen Skizzen und Funktionsgraphen zu stärken. Zur Einführung möchte ich die
wichtigsten Bezeichnungen möglichst mathematisch definieren, um diese Hilfsmittel später in der Herleitung der Evolute aus expliziter und
Parameterform der Ausgangsfunktionen zu benutzen, welches der Schwerpunkt dieser schriftlichen Arbeit sein soll. Die Evolvente wird
dabei nur in Zusammenhang erläutert, weil sie im Maschinenbau eine größere Bedeutung hat.
(Power Point, 24 Folien, )

II Einleitung
II.1 Vorwort
III Grundbegriffe der Differentialgeometrie
III.1 Parameterdarstellung
III.2 Differentialoperator
III.3 Krümmungswerte
III.3.1 Krümmung einer ebenen Kurve
III.3.2 Krümmungsradius
III.3.3 Krümmungskreis
IV Themenerläuterung
IV.1 Evolute
IV.1.1 Definition
IV.1.2 Herleitung
IV.1.3 Bestimmung der Evolute der Normalparabel
IV.1.4 Bestimmung der Evolute einer Ellipse
IV.2 Evolvente
IV.2.1 Definition
IV.2.2 Kreisevolvente
IV.2.3 Evolute der Kreisevolvente
V Schluss
V.1 Zusammenfassung
V.2 Reflexion
VI Anhang
VI.1 Hüllkurve
VI.2 Rechnung 1
VI.3 Evolventenverzahnung
VI.4 Rechnung 2
VI.5 Rechnung 3
VI.6 Internetquellen
VI.6.1 Euler, Leonhard
VI.6.2 Huygens, Christiaan
VI.6.3 Neil, William
VI.6.4 von Samos, Pythagoras
VII Quellennachweis
VII.1 Literatur
VII.2 zusätzliche Literaturhinweise
VII.3 Abbildungen
VII.4 Internet
VII.5 Hilfsmittel (4748 Wörter)
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05.01.2006 von unbekannt
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