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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Evoluten und Evolventen aus der Differentialgeometrie

EVOLUTEN & EVOLVENTEN AUS DER DIFFERENTIALGEOMETRIE

Gliederung
1. Begriffserläuterung
- Parameterdarstellung
- Differentialoperatoren
- Krümmungswerte
2. Themenerläuterung
- Definition
- Herleitung
3. Schluss
- Zusammenfassung
- Beispielrechnung

1. Begriffserläuterung
parametrische Funktionsdarstellung:
- Durch die Parameterdarstellung kann ein geometrisches Objekt mit geeigneten Koordinaten explizit beschrieben werden, wobei alle Teilfunktionen von demselben Parameter t abhängen.
Begriffserläuterung Differentialoperatoren:
- Der Differentialoperator ist eine Transformationsvorschrift, die das Ableiten nach x ausdrückt. Die Ableitungen nach dem Parameter t lauten:
- Die erste Ableitung einer Funktion nach t in Parameterdarstellung:
- Die zweite Ableitung einer Funktion nach t in Parameterdarstellung:
- Auf einem Blick… die Ableitungsregeln für in der Parameterform gegebene Funktionen:
Krümmungswerte:
- Krümmung k ergibt sich durch Bildung des Quotienten aus dem Steigungswinkel und dem Bogendifferential s:
- Ist die Kurve in Parameterform gegeben, ergibt sich analog die Krümmung k durch Einsetzen der Ableitungsregeln in die vorgegebene Krümmungsformel:
- Krümmungsradius r ist der absolute Betrag des Kehrwerts der Krümmung. Denn z.B. ein Kreis mit kleinem Radius hat eine stärkere Krümmung, d.h. je größer die Krümmung desto kleiner der Radius, dann gilt:
- Der zugehörige Kreis zum Krümmungsradius wird als Krümmungskreis K bezeichnet. Dieser berührt die Kurve in P mit mindestens übereinstimmender erster und zweiter Ableitung, so wird die Kurve durch den Krümmungskreis in einer hinreichend kleinen Umgebung von P approximiert.
- Weiterführung:… Die Gesamtheit aller Krümmungsmittelpunkte liegt auf einer Ortskurve, die als Evolute bezeichnet wird, wobei die Ausgangskurve Evolvente genannt wird.

2. Themenerläuterung
Definition
- Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte.
- Daraus folgt… dass die Gleichungen für die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes gerade die Parameterdarstellung der Evolute sind.
Herleitung
- Formeln für die Koordinaten x,y des Krümmungsmittelpunktes lauten:
- Häufiger findet man die Formeln jedoch in einer anderen Gestalt, die sich durch Einsetzen des Bogendifferentials und Krümmungsradius herleiten lässt. (auch hier wird die Schreibweise des Differentialoperators beachtet!)

3. Schluss
Zusammenfassung
- Parameterdarstellung der Evolute:
Beispielrechnung
- Aufgabe: Bestimmung der Evolute einer Ellipse
1. Schritt Die Parameterdarstellung der Ellipse lautet:
2. Schritt Die erste Ableitung und zweite Ableitung von x und y nach t sind:
3. Schritt Einsetzen der Ableitungen in die Gleichung der Evolute:
4. Schritt Umformungen unter Anwendung des trigonometrischen Pythagoras:
- …nach einigen Umformungen…
- Ergebnis:
- Evolute = Astroide oder Sternkurve (rot)
- Evolvente = Ellipse (grün)
- Normalen der Ellipse = Tangenten Astroide (grau)

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