Herleitung Bogenlänge und Streckungsfaktor bei Scheitelpunkt

"Bei der Herleitung der Formel für Bogenlänge verstehe ich nicht wie man auf y ` kommt."

y wurde gleich f(x) gesetzt.

(im übrigen ist die "herleitung" kein formaler beweis für die richtigkeit der formel. differentiale sind keine zahlen,
wo es klar ist, dass du einfach so mal erweitern und kürzen kannst)

"Ist es richtig dass es die aufgabe hat sozusagen , dass die parabel steiler oder flacher amcht ?"

ja, wenn du eine festen punkt betrachtest, dann ist bei betragsmäßig großem a (f(x)=ax²) die tangente in diesem punkt steiler als bei beitragsmäßig kleinem a.

dy/dx ist die ableitung von f nach x, und dafür schreibt man nunmal (auch) f`. steckt nicht viel dahinter.

was du eigentlich machst, ist eine partition von [a,b] wählen, etwa {x0,...,xn}, dann hast du die punkte (x0|f(x0),...,(xn|f(xn)) auf dem graphen der funktion.

benachbarte punkte verbindest du nun durch eine gerade linie, so das du n strecken erhälst.
die längen der strecken kannst du mit pythagoras berechnen, die gesamtlänge ist dann die summe der einzellängen.

dann machst du die partition immer feiner, sodass benachbarte punkte immer dichter zusammenrücken (d.h. du erhälst immer punkte, immer kürzere strecken, aber auch eine genauere approximation der bogenlänge)
und im grenzfall ("unendlich kurze strecken, aber unendlich viele", erhälst du das (riemann)integral (so ist es einfach definiert)