Herleitung für Pyramidenstumpf Volumen brechnung

Wenn du die Formel für eine gerade Pyramide als Grundlage verwenden darfst, ist das eigentlich ganz leicht.

Du betrachtest dann erst die komplette Pyramide, diese hat die Höhe i und die quadratische Grundseite Ag mit Kantenlänge a.
Ihr Volumen ist:
V1 = 1/3 * Ag * i = 1/3 * a² * i

Dann schneidest du den oberen Teil ab, dieser Teil hat die Höhe k und die Grundseite Ad mit Kantenlänge b, sein Volumen ist:
V2 = 1/3 * Ad * k = 1/3 * b² * k

Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich aus:
V = V1 - V2 = 1/3 * (a² i - b² k)

Wenn h die Höhe des Pyramidenstumpfes ist, dann gilt:
i = h + k
also:
V = 1/3 * (a² h + a² k - b² k) = 1/3 * (a² h + (a² - b²) k)

Nach dem Strahlensatz gilt: (Zeichnung!)

(b/2) / k = (a/2) / i
und damit:
b / k = a / (h + k)
b h + b k = a k
k (a - b) = b h
k = (b h) / (a - b)

Eingesetzt in die Gleichung von oben:

V = 1/3 * (a² h + (a² - b²) * (bh) / (a-b))

wegen a² - b² = (a+b)(a-b) kann man (a-b) kürzen:

V = 1/3 * (a² h + (a+b) * bh) = 1/3 h (a² + ab + b²)

Mit a² = Ag und b² = Ad erhälst du die gewünschte Gleichung.

Für einen vollständigen Beweis musst du dann noch zeigen, dass für eine gerade Pyramide V = 1/3 G * h gilt, aber das ist etwas schwieriger.

das wurde aber genannt ..

du hast eine "große pyramide" mit seitenlänge der grundfläche: a und höhe i
und eine "kleine pyramide" mit seitenlänge der grundfläche b und höhe k

die höhe des pyramidenstumpfes ist h=i-k.

wenn du es übrigens etwas allgemeiner haben willst (schließlich kommen noch rechteckige, dreieckige, ... pyramiden in der anwendung vor), dann hilft dir übrigens der strahlensatz nicht viel.
hilfreicher ist folgende eigenschaft einer zentrischen streckung:
hat ein vieleck den flächeninhalt A, so hat das (bild)vieleck unter zentrischen streckung mit streckfaktor k den flächeninhalt k²*A.

so kannst du aus der "kleinen pyramide" mit einer zentrischn streckung mit streckzentrum: pyramidenspitze und streckfaktor: höhe der großen pyramide h(g)/höhe der kleinen pyramide h(k) die "große pyramide" herstellen.
es gilt dann also: (h(g)/h(k))²*G`=G, wobei G` der flächeninhalt der deckfläche des pyramidenstumpfes ist, G der flächeninhalt der grundfläche.
wenn du in dieser gleichung h(k) durch h(g)-h ersetzt, erhälst du eine quadratische gleichung für h(g), und kannst mit der lösung der gleichung das volumen des pyramidenstumpfes V=1/3*G*h(g)-1/3*G`*h(k) in abhängigkeit von G, G` und h angeben.