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Funktionenschar : Verhalten der Graphen untersuchen

Frage: Funktionenschar : Verhalten der Graphen untersuchen
(38 Antworten)


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An alle Mathe-Checker da draußen, ich brauche dringend eure Hilfe, da ich folgende Aufgabe bis Freitag erledigen muss! Ich habe überhaupt gar keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Bitte helft mir! Die Aufgabe lautet:


Gegeben ist die in R+ definierte Funktionenschar:
"Integral" a : x |--> "Integral" a(x) = (ln x -2a)ln x
mit a € R.

1.
a) Untersuchen Sie das Verhalten der Graphen G(fa) dieser Funktionen für x --> 0 und weisen Sie nach, dass je zwei verschiedene Scharkurven nur den Punkt S(1;0) gemeinsam haben.

b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Nullstellen, den Extrempunkt und den Wendepunkt der Scharkurve G(fa).

c) Die Menge der Extrempunkte aller Kurven G(fa) bilden eine Kurve E, die Menge der Wendepunkte eine Kurve W. Zeigen Sie, dass E aus G (f0) und W aus G (f1) durch SPiegelung an der x-Achse hervorgehen.


Bitte helft mir, ich hab gar keine Ahnung wie ich wo anfangen soll.... Danke!


Lg
Max
Frage von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | am 09.11.2010 - 17:46

 
 Antwort von GAST | 09.11.2010 - 17:55
1a) wie verhält sich den ln(x) für x-->0, x>0?
dann fa1(x)=fa2(x), a1<>a2.

b)ln(x)=0? ln(x)=2a?
dann ableiten, nullsetzen.
wie immer.

c)E und F aufstellen.
dazu musst du nur den parameter eliminieren.
und dann beachtest du, dass spiegelung an der x-achse heißt, dass du aus y ein -y machst und x beibehälst.

(ich habe angenommen, dass mit fa die integralfunktion gemeint ist. war mir nicht ganz klar)


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 14:23
Sorry, das ich mich jetzt so ewig nicht gemeldet hab, musste nebenbei noch die Facharbeit zu Ende schreiben ;D. Wie dem auch sei, ich darf diese Aufgabe am Mittwoch,1.Dez., vorführen.

Jetzt hab ich mich gerade hingesetzt und eben mal die a) versucht.

Also wenn x gegen 0 läuft, geht es gegen -"undendlich", kann das sein?
Für x > 0 , gegen + "unendlich". Damit ist ja schon der erste Teil der Teilaufgabe a) beantwortet? Nämlich damit, dass sich Fa gegen -"unendlich" läuft?

Leider versteh ich den 2ten Teil nicht ganz "...weisen Sie nach, dass je zwei verschiedene Scharkurven den Punkt s(1;0) gemeinsam haben". Natürlich muss ich da irgendwie eine Fallunterscheidung machen, aber wie? Dein fa1(x) = fa2 (x), a1 <> a2 versteh ich nicht, sorry!


Und ja mit fa war die Integralfunktion gemeint :)
Ich hoffe ich nerve nicht, aber da ich nicht so die Leuchte in Mathe bin, muss ich das unbedingt vorführen und darf es nicht versemmeln.

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 14:32
1a) ln(x)-->-unendlich (für x-->0) ist richtig, aber gilt das auch für f(x)?

fa1(x)=(ln(x)-2a1)ln(x)=(ln(x)-2a2)ln(x)=fa2(x)
damit für x<>1: -2a1=-2a2, widerspruch zur annahme (verschiedene scharkurven), mit fa(1)=0 (unabhängig von a!) folgt dann die behauptung.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 14:45
Okay. Also zum allgemeinen verständnis:
Ich muss schon eine Fallunterscheidung machen, für einmal a > 0 und einmal a < 0 ?

1)a) Da ln(x) -> - unendlich geht, läuft f(x) gegen +unendlich,
da "-" x "-" = "+" ist und "-2a" in dem Fall keinen großen Unterschied macht.

Für den zweiten Teil der Aufgabe, dass je zwei verschiedene Scharkurven nur den Punkt S(1;0) gemeinsam haben, muss ich
fa1(x) = fa2(x) setzen? Soweit versteh ichs, dass dann -2a1 = -2a2 ist. Warum ist das ein Widerspruch zur Annahme der verschiedenen Scharkurven und warum folgt mit fa(1) =0 die Behauptung?

Ich hoffe ich nerve nicht!

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 14:50
"Warum ist das ein Widerspruch zur Annahme der verschiedenen Scharkurven"

-2a1=-2a2 (also a1=a2) hieße ja, dass die kurven gleich sind.

"und warum folgt mit fa(1) =0 die Behauptung?"

daraus folgt erstmal, dass S(1|0) ein punkt ist, denn alle kurven der schar gemeinsam haben, aus der vorherigen bemerkung, (dass wenn x nicht 1 ist, die scharkurven gleich sein müssen, damit sie einen punkt gemeinsam haben) folgt dann aber, dass es keine weiteren punkte gibt, S ist also der einzige.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 15:04
Ah okay, langsam bekomme ich den Durchblick, d.h. also würde ich jetzt die a) allgemein beantworten, würde das so ausschauen:

lim (x->0) ln x = -unendlich

=> lim (x->0) (ln x - 2a)* ln x --> + unendlich [für x-->]

fa1 (x) = (ln x - 2 a1) * ln x = (ln x - 2a2) * ln x = fa2 (x)

=> a1 = a2 --> Widerspruch zu VERSCHIEDENE Scharkurven

Deswegen S(1;0):

fa(1) = 0 ?

=> (ln 1 - 2a) ln 1 = 0 -> Da ln 1 = 0, stimmt es,dass fa(1) = 0 ist.

Nur warum S der einzigste ist,ist mir noch nicht ganz klar, warum kann es nicht auch irgend ein anderer sein?

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 15:10
"=> a1 = a2 --> Widerspruch zu VERSCHIEDENE Scharkurven"

aber nur für x<>1.

"Nur warum S der einzigste ist,ist mir noch nicht ganz klar, warum kann es nicht auch irgend ein anderer sein?"

wie gesagt folgt für x<>1, dass die kurven gleich sein müssen (division durch ln(x), subtraktion von ln(x)), dass haben wie aber von vornherein ausgeschlossen


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 15:14
Mit " x <>1" meinst du, dass x "größer/kleiner gleich 1" ist?

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 15:18
"Mit " x <>1" meinst du, dass x "größer/kleiner gleich 1" ist?"

ja, genau.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 15:19
Sehr gut, endlich macht alles einen Sinn!
Vielen, vielen Dank! Ich rechne das jetzt alles nochmal durch & versuche mich dann mal an der b)


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 15:51
Also zur b):

Nullstelle (x-Achse) / f(x) = 0

fa(x) = ( ln x - 2a) * ln x = 0

ln 1 = 0 => x1 = 1

=> ln x = -2 a (Wie bringe ich hier "ln" auf die andere seite?)

Nullstellen ( y- Achse) / f(0)

fa(0) = ( ln 0 - 2a) * ln 0 = - unendlich (?)

=> Schneidet y-Achse gar nicht, nähert sich nur an ?

Extrempunkte /f`(x) = 0 & f``(x) <> 0

f`a(x) = 1/x * ln x + (ln x - 2a) * 1/x (Produktregel)

f`a (x) = 1/x * (2* ln x - 2 a)

f`a (x) = 0 (Hier bin ich mir nicht sicher, da man durch "x" nicht teilen darf, da x = 0 sein könnte, jedoch ist das doch von vornerein ausgeschlossen wenn 1/x ist?)


1/x ( 2 * ln x - 2a) = 0 / : (1/x)
2* ln x - 2 a = 0
ln x - a = 0 (gleiches Problem wie bei den Nullstellen...)

x0 = ?

f``a (x) = - 1/x² ( 2ln x - 2 a ) + 1/x (2/x)

f``a(x) = 2 1/x² ( ln x + a + 1)

Soweit bin ich bis jetzt gekommen.

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 16:11
1) e^...
2) das nennt sich nicht nullstellen. offensichtlich ist die funktion nur auf R+ definiert, also gibt es keinen schnittpunkt mit der y-achse
3)x=0 kannst du vergessen (siehe 2)
4) bei f`` scheint mir ein vorzeichenfehler passiert zu sein.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 16:40
D.h.:

1) "=> ln x = -2 a (Wie bringe ich hier "ln" auf die andere seite?)"

x = e^ (ln -2 a ) ?

2) "=> Schneidet y-Achse gar nicht, nähert sich nur an ?"

Schneidet gar nicht y-Achse wegen R+.

3)"x=0 kannst du vergessen (siehe 2)"

Aber ich muss doch f`(x) = 0 setzen, um x0 zu bekommen, welches ich dann in f`` einsetzen muss ?

4)bei f`` scheint mir ein vorzeichenfehler passiert zu sein.

Hab es noch einmal gerechnet, jetzt kommt folgendes raus:

f``a(x) = 2 1/x² ( -ln x + a + 1)

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 16:46
1) ohne ln
2) so kannst du das nicht stehen lassen, weil das keiner versteht, besser: "weil die funktion nur auf R+ definiert ist" oder kurz "weil D(f)=R+"
3) ja
4)ok.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 16:52
1) x= e^ -2a
2) Ok. Danke!
3)D.h. x0 = e^-a (Was ich in f`` dann einsetzen muss?)

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 16:58
ja, das kannst du in f`` einsetzen.


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 17:02
oke. Puh das schaut kompliziert aus, ist " ln (e^-a)" = e * ln 1^-a ?

Bzw wo fang ich da an, damit sich ein bisschen was wegkürzt ?

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 17:27
ne ln(e^-a)=-a (könntest aber auch so begründen, was die kritische stelle ist. ist hier recht einfach.)


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13		 Antwort von MaxWhatEver (ehem. Mitglied) | 28.11.2010 - 17:33
Ich muss doch für Extrempunkt nur schauen ob >0 (Tiefpunkt) oder <0 (Hochpunkt) schauen.
Jetzt habe ichs soweit umgeformt:

f``(e^-a) = 2 / (e^-a)²

Da die e-Funktion nicht negativ wird & man sowieso das ² hat, ist
f`` (e^-a) > 0 und somit hat fa einen Tiefpunkt bei (e^-a / -a² ) ?

 
 Antwort von GAST | 28.11.2010 - 17:45
jo, hast allerdings einen vorzeichenfehler. streich einfach das - überall.

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