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Schule > Mathematik > Analysis > Funktionsuntersuchung mit Derive

Gegebene Funktion: -x #1: f(x) (4·x - 1)· 1. Bestimmen der Schnittpunkte mit den Achsen (Ordinatenabschnitt) 1a) Schnittpunkt mit der y-Achse: #2: f(0) = -1
=> Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt S(0|-1) 1b) Schnittpunkt/e mit der x-Achse (Nullstellen): #3: #4: #5: f(x) = 0 SOLVE(f(x) = 0, x, Real) 1 x = x = 4
=> Da keine reelle Zahl ist, schneidet der Graph die x-Achse nur im Punkt P (0,25|0) 1 P 0 4 2. Bestimmen der Extrempunkte 1. und 2. Ableitung: #6: #7: -x -x f'(x) = 4· + ·(1 - 4·x) -x -x f''(x) = ·(4·x - 5) - 4·
2a) Notwendiges Kriterium für Hoch-/Tiefpunkte: f'(x)=0 #8: #9: #10: f'(x) = 0 SOLVE(f'(x) = 0, x, Real) 5 x = x = 4
=> Da keine reelle Zahl ist, hat der Graph nur eine Extremstelle, und zwar bei 5 x0 = 4 2b) Hinreichendes Kriterium für Hoch-/Tiefpunkte: f''(x0)0 #11: 5 - 5/4 f'' = - 4· 4
Berehnung von f(x0) #12: 5 - 5/4 f = 4· 4
=> Da f''(x0) negativ ist, hat der Graph einen relativen Hochpunkt bei 5 -5/4 H 4* 4 3. Berechnung der Wendepunkte 3. Ableitung: #13: -x -x f'''(x) = 4· + ·(9 - 4·x)
3a) Notwendiges Kriterium für Wendepunkte: f''(x)=0 #14: #15: #16: f''(x) = 0 SOLVE(f''(x) = 0, x, Real) 9 x = x = 4
Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte: f'''(x0)0 #17: Berechnung von f(x0) #18: 9 - 9/4 f = 8· 4 9 - 9/4 f''' = 4· 4
Ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt? f'(x0)=0? #19: 9 - 9/4 f' = - 4· 4
=> Der Graph hat einen Wendepunkt bei 9 -9/4 W 8* 4


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