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Übungsaufgabe mit Lösung: Funktionsuntersuchung mit Nullstellen

Alles zu Gleichungssysteme und Funktionen

Funktionsuntersuchung mit Nullstellen, Symmetrie, Extrema, Wendepunkte


Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³-x²-x + 1
Berechnen Sie die Hoch – und Tiefpunkte, den Wendepunkt und die Nullstellen des Graphen von f.
Berechnen Sie die Gleichung der Normale im Wendepunkt.
Wir betrachten die Funktion w mit w(x) = a * f(x) mit a > 1. Wie verändert sich die Lage des Wendepunktes und der Verlauf der Wendetangente, wenn a wächst? Geben Sie eine Begründung an!

Lösungen:
1 – 3 Ableitung von f(x) bilden
f(x) = x³-x²-x + 1
f’(x) = 3x²-2x-1
f’’(x) = 6x-2
f’’’(x) = 6
Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden f’(x) =0 (gleich Null setzen)
3x²-2x-1 = 0 / : 3
x²-2/3x-1/3 = 0
Nun P-Q-Formel anwenden x1,2 = - p/2 +- Wurzel aus (p/2)² -q
x1,2 = 1/3 +- Wurzel aus (1/3)² + 1/3
x1,2 = 1/3 +- 2/3
x1= 1 x2= -1/3
Hinreichende Bedingung anwenden f’’(xe) ungleich 0
Errechnete X-Werte (x1 und x2) in f’’ einsetzen
f’’ (1) = 6*1-2
f’’ (1) = 4 ist größer 0 also Minimum
Ersten X-Wert in f(x) einsetzen
f(1) = 1³-1²-1+1 = 0 Tiefpunkt: T(1/0)
f’’ (-1/3) = 6*(-1/3) –2
f’’ (-1/3) = -4 ist kleiner als 0 also Maximum
Zweiten X-Wert in f(x) einsetzen
f(-1/3) = -1/3³-(-1/3)²-(-1/3)+1 = 1,19 = 1 5/27 Hochpunkt: H(-1/3 / 1 5/27)

Nullstellen berechnen:
Polynomdivision anwenden
(x³-x²-x + 1) : (x-1) = ..........
Formel die raus kommt in P-Q-Formel einsetzen und die Werte die raus kommen sind die Nullstellen.

Wendepunkt berechnen:
Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden f’’(x) = 0 (gleich Null setzen)
6x-2 = 0 / +2
6x = 2 / : 6
x = 1/3 ist mögliche Wendestelle
Hinreichende Bedingung anwenden f’’’(xw) ungleich 0
f’’’(1/3) = 6 ist ungleich 0
Mögliche Wendestelle in f(x) einsetzen
f(1/3) = 1/3³-1/3²-1/3 + 1
f(1/3) = 16/27 = 0,59 Die Wendestelle ist W(1/3 / 16/27)
Berechnung der Gleichung der Normale im Wendepunkt
Steigung der Tangenten im Wendepunkt W(1/3 / 16/27)
f’(x) ist immer die Steigung. X-Wert des Wendepunkts in f’(x) einsetzen
f’(1/3) = -4/3
Bedingung für die Normale die senkrecht auf der Tangenten steht = mn*mt = -1
Kehrwert von –4/3 bilden = 3/4 = mn
Normalengleichung: y = mx + n
16/27 = 3/4 *1/3 +n
37/108 = n
Normalengleichung: y = 3/4*x + 37/108
Inhalt
Eine Funktion ist gegeben. Hoch- und Tiefpunkt, Wendepunkt und Nullstellen sollen bestimmt werden, die Gleichung der Normalen soll angegeben werden.

Muster-Rechnung (379 Wörter)
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04.12.2005 von unbekannt
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