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Flächenberechnung: Tangente an Funktion

Frage: Flächenberechnung: Tangente an Funktion
(28 Antworten)

 
Ich will gerade eine Aufgabe lösen, die eigentlich relativ simpel zu sein scheint, aber irgendwie steh` ich grade auf`m Schlauch! =(


Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von f, der Tangente in P und der x-Achse?

f(x) = 0,5x² und P(3|4,5)!

Das Integral berechnen kann ich ja. Nur muss ich irgendwie
a) Die Tangentenfunktion herausbekommen
b) Diese mit der Funktion f(x) in einen Zusammenhang bringen

Ich konnte das mal und hab`s wieder vergessen. Ist sicherlich total einfach und ich komm` da einfach nicht drauf! >_<

Ich bitte um Hilfe! =)
Dankeschön! =)
GAST stellte diese Frage am 17.12.2007 - 19:32

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 19:34

http://www.e-hausaufgaben.de/Thema-91677-e-funktion.php

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 19:37
Danke erstmal.
Leider steht in dem Thread was von irgendsoeinem Beweis einer e-Funktion! O_o

Das ist irgendwie nicht das, was ich gerade brauche.
Diese ganze Tangentengeschichte von wegen Steigung m und so hab` ich noch nie so wirklich bearbeitet, deswegen bräuchte ich da mal einen kleinen Crashkurs anhand dieser Aufgabe.

Bitte.

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 19:39
ist egal, ob e-funktion oder nicht. die tangenten bestimmt man immer mit der gleichen formel..hab ich auch in diesem geschrieben...

man kann die formel auch herleiten, ist aber so einfach, das ichs mir mal erspare..musst nur wissen, dass m(tangente)=f`(x0) ist

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 21:38
Ich hab` jetzt mal woanders geschaut und folgenden Rechenweg nachvollzogen:

f(x) = 0,5x² / P(3|4,5)

1.) Erste Ableitung bilden:

f(x) = 0,5x²
f`(x) = x

2.) In die allgemeine Tangentengleichung einsetzen

y = mx+b
4,5 = m*3+b

3.) Steigung der Tangente bestimmen

f`(x) = x
f`(3) = 3 | ... weil der Punkt (3|4,5) lautet!

Somit ergibt sich für die Steigung: m = 3

Demnach:
4,5 = 3*3+b
4,5 = 9+b | -9
b = -4,5

Also ist die Funktion der Tangente: t(x) = 3x-4,5

4.) Nullstelle der Tangente berechnen

t(x) = 3x-4,5
3x-4,5 = 0 | +4,5
3x = 4,5 | :3
x = 1,5

5.) Integral berechnen

Jetzt berechne ich das Integral von f(x) = 0,5x² bzw. F(x) = (1/6)x³ mit den Grenzen 0 bis 3! Und danach das Integral von t(x) = 3x-4,5 bzw. T(x) = 1,5x²-4,5x mit den Grenzen 0 bis 1,5!

Am Ende subtrahiere ich die beiden und habe das Ergebnis (als Betrag) heraus!
_______________

Wenn das soweit richtig ist, freue ich mich! ^^

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 21:46
bis 3) ists richtig.
4) ist unnötig

gesucht ist: int[f(x)-t(x)]dx in[0;3]

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 21:47
Ja, unser Lehrer will nicht so gerne, dass wir das zusammenfassen. Deswegen brauche ich doch auch die Grenze (1,5), damit ich das Integral bilden kann!

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 21:50
oh, hab mich verguckt..dachte, man müsste den flächeninhalt zwischen y-achse, t und f ausrechnen..tja wissen ist besser als denken

kannst dich doch freuen

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 21:59
Cool, vielen Dank nochmal! =)

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:03
vieleicht noch was: du musst normalerweise das integral von t(x)dx in [1,5;3] ausrechnen...dann kannst du auch das integral vom anderen abziehen.

hier hast du aber glück, dass die nullstelle die mitte des intervalls ist, somit wird das integral von t(x)dx in [0;1,5] nur negativ. (vom betrag her ists aber gleich). also musst du die integrale nicht subtrahieren, sondern addieren.

es sollte A=9/8 rauskommen

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:25
Hmm.

Ich habe als Integral der Funktion f(x) [von 0 bis 3] 1,5 raus!
Und bei der Geraden [von 0 bis 1,5] habe ich -3,375 raus!

Subtrahiert ergibt das bei mir 4,875 Flächeneinheiten!
Da stimmt was nicht, oder?

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:26
jo, hab ich ja gesagt..wenn du es so machst (ist eigentlich falsch) musst du die integrale addieren

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:29
Wenn ich die beiden addiere...

-3,375 + 1,5 = -1,875

Das ist aber auch nicht dein Ergebnis 9/8! Oo

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:32
1,5 ist falsch..rechne mal nochmal nach

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:39
Hier ist meine Integralberechnung:


1,5 ist richtig... eigentlich! Oo

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:42
aber nur eigentlich..

was ist 3³?

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:50
Ach verdammte Scheiße! >_<
Ich hab nur 3² gerechnet! DANKESCHÖN! ^^

Somit hätten wir dann... (1/6)*27 = 4,5
4,5 - 3,375 = 1,125 = 9/8

Aber wieso muss ich das in diesem Falle addieren und nicht subtrahieren?

Wir haben doch dieses Bild hier:


Welche Fläche habe ich denn nun berechnet?

Mit dem f(x)-Integral habe ich doch die Flächen gelb + blau berechnet und mit dem t(x)-Integral die blaue Fläche, oder?

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:53
"und mit dem t(x)-Integral die blaue Fläche, oder?"

nein...eben nicht..du hast damit die fläche unterhalb der x-achse berechnet.(zwischen t und y-achse und x-achse) deshalb ist das integral auch negativ.

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:56


Meinst du die pinke Fläche mit "zwischen t und y-achse und x-achse"?
Bin ich grade zu blöd? O.o

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:57
ja, genau die meine ich.

 
Antwort von GAST | 17.12.2007 - 22:58
Und in welchem Zusammenhang steht die zur Lösung der Aufgabe?
Wieso muss ich die pinke Fläche jetzt mit der gelb+blauen addieren?

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