LOGIN | NEU REGISTRIEREN

Schule > Mathematik > Analysis > Bestimmung der Tangentensteigung

Wie bestimmt man die Tangentensteigung?

Um die Tangentensteigung einer Tangente zu der Funktion f(x)=xn bestimmen zukönne, bedarf es der Ausführung mehrerer Schritte. Um die Schritte zu verdeutlichen, werde ich nach jedem Schritt die Anwendung für die Funktion f(x)=x3 durchführen.
1. Schritt

Zuerst stellt man die ganz allgemeine Gleichung für die Gerade auf, die folgende Form besitzt:
m(x,x0) =

2. Schritt

Um die Gleichung der Gerade für die Tangente der gegebenen Funktion bestimmen zu können, muss man die Wert der Funktion f(x) in die allgemeine Steigungsgleichung einsetzen:
f(x) = x³
m(x,x0) =

3. Schritt
Mit Hilfe einer neuen Rechnung wird nun die Gleichung der Tangente ermittelt. Dazu setzt man den bisherigen Term der Tangentensteigung ( ) mit einem selbst ermittelten Term gleich. Für den selbst entwickelten Term muss die Anzahl der Variablen gleich der Potenz von x in der gegebenen Funktion sein (z.B. f(x)=x³ ( 3 Variablen (a, b, c), f(x) = x4 ( 4 Variablen (a, b, c, d))
m(x,x0) =
= ax² + bx + c

4. Schritt
Um die Rechnung zu erleichtern, multipliziert man mit dem Nenner, so verschwindet der Bruch auf der linken Seite. Beim Aufschreiben sollst man darauf achten alle Teile mit gleichen Variabeln unter einander zu schreiben, so hat man es später beim Zusammenfassen einfacher.
= ax² + bx + c * (x - x0)
x³ - x0³ = ax³ + bx² + cx
- ax²x0 - bxx0 - cx0
5. Schritt
Zusammenfassen der Gleichung
x³ - x0³ = ax³ + bx² + cx
- ax²x0 - bxx0 - cx0
x³ - x0³ = ax³ + x²(b-ax0) + x(c-bx0) + cx0

6. Schritt
Um die Steigung der Tangente herauszufinden, müssen die Variablen a, b, c usw. durch Potenzen von x0 ersetzt werden. Die Variable a hat immer den Wert 1. Die Werte der anderen Variabeln kann man ermitteln, in dem man die Klammerinhalt gleich 0 setzt.
x³ - x0³ = ax³ + x²(b-ax0) + x(c-bx0) + cx0
a = 1
b-ax0 = 0 ( b = ax0 ( b = x0
c-bx0 = 0 ( c = bx0 ( c = x0²

7. Schritt
Nun stellt man die Gradengleichung der Tangente auf. Dazu setzt man in den Term von Schritt 3 die Werte aus Schritt 6 ein. Diese Gleichung ist für x = 0 nicht definiert.
Term aus Schritt 3: = ax² + bx + c
Werte aus Schritt 6: a = 1
b-ax0 = 0 ( b = ax0 ( b = x0
c-bx0 = 0 ( c = bx0 ( c = x0²
Einsetzen: m (x,x0) = x² + xx0 + x0²

8. Schritt
Im letzten Schritt bestimmt man die Geradengleichung, die für alle x aus R (reelle Zahlen) definiert ist, dafür ersetzt man in der Gleichung aus Schritt 7 alle x durch x0.
m (x,x0) = x² + xx0 + x0²
m (x0, x0) = x0² + x0² + x0² = 3 x0²

Die Rechnung noch einmal im Überblick:
f(x) = x³ Schritt 1 m(x,x0) = Schritt 2 m(x,x0) = Schritt 3 = ax² + bx + c * (x - x0) Schritt 4 x³ - x0³ = ax³ + bx² + cx
- ax²x0 - bxx0 - cx0 Schritt 5 x³ - x0³ = ax³ + x²(b-ax0) + x(c-bx0) + cx0 Schritt 6 a = 1

b-ax0 = 0 ( b = ax0 ( b = x0
c-bx0 = 0 ( c = bx0 ( c = x0² Schritt 7 m (x,x0) = x² + xx0 + x0² Schritt 8 m (x0, x0) = x0² + x0² + x0² = 3 x0²

Tangentensteigung für
f(x) = x4 Schritt 1 m(x,x0) = Schritt 2 m(x,x0) = Schritt 3 = ax³ + bx² + cx + d * (x - x0) Schritt 4 x4 - x04 = ax4 + bx3 + cx² + dx
- ax³x0 – bx²x0 - cxx0 – dx0 Schritt 5 x4 - x04 = ax4 + x³(b-ax0) + x²(c-bx0) + x(d-cx0) + dx0 Schritt 6 a = 1
b-ax0 = 0 ( b = ax0 ( b = x0

c-bx0 = 0 ( c = bx0 ( c = x0²
d-cx0 = 0 ( d = cx0 ( d = x0³ Schritt 7 m (x,x0) = x³ + x²x0 + xx0² + x0³ Schritt 8 m (x0, x0) = x0³ + x0³ + x0³ + x0³= 4 x0³

Allgemeine Tangentengleichung:
Maike Mehlkopf, Stufe: 11, M-GK3, Herr Berard
-3-
f(x) = xn
m (x0, x0) = n x0n-1

Download: PDF, DOC