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Pol- und Nullstellen

Frage: Pol- und Nullstellen
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Hallo

Was sind denn Polstellen?

Also ich weiß was Nullstellen sind, und weiß auch wie man sie herausfindet.

Aber was sind Polstellen? Sind dass dann sie Schnittpunkte mit der y-Achse?
Weil Nullstellen sind ja Schnittpunkte mit der x-Achse.
Frage von Tudelu (ehem. Mitglied) | am 16.08.2012 - 13:06


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Antwort von shiZZle | 16.08.2012 - 13:53
Das sind quasi Definitionslücken.
Betrachtet man eine Funktion dann bezeichnet man die Definitionslücken als Polstellen wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes bel. groß werden.

Z.B: 1/x² hat eine Polstelle 2ter Ordnung bei x = 0


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Antwort von Tudelu (ehem. Mitglied) | 16.08.2012 - 14:54
Ja okay, und wie sieht das graphisch aus?


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Antwort von Dauergast (ehem. Mitglied) | 16.08.2012 - 15:19
So:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2Fx%C2%B2


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Antwort von Tudelu (ehem. Mitglied) | 16.08.2012 - 16:01
Also sind die Polstellen gleichzeitig Grenzwerte?
Weil der Wert 0 wird ja niemals erreicht


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Antwort von shiZZle | 16.08.2012 - 17:20
Nein ist es nicht. Wo gegen konvergiert denn die Funktion 1/x² zum Beispiel? Und dann schau dir mal die Funktion 1/(x+1) an. Was sind Polstellen und Grenzwerte?


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Antwort von Tudelu (ehem. Mitglied) | 16.08.2012 - 21:43
Ich bin total verwirrt jetzt.
Du hast doch vorhin gesagt, dass 0 die Polstelle ist. Aber 0 ist doch auch der Grenzwert.


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Antwort von shiZZle | 16.08.2012 - 21:53
Ist bei 1/(x+1) die Polstelle x=0 ? Ich glaube nicht.


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Antwort von Tudelu (ehem. Mitglied) | 16.08.2012 - 21:59
Das glaube ich auch nicht. Das habe ich auch nicht gesagt. Die Polstelle müsste -1 sein.
Und was ist da der Grenzwert?


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Antwort von shiZZle | 17.08.2012 - 01:09
Der Grenzwert für x gegen unendlich ist 0. Damit will ich dir nur zeigen, dass die Polstelle nicht der Grenzwert ist. Die Polstelle ist einfach ausgedrückt die Definitionslücke.

z.B: 1/x da ist die Polstelle 0. Wieso? Weil 1/0 nicht definiert ist.


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Antwort von Tudelu (ehem. Mitglied) | 17.08.2012 - 06:30
Ich verstehe
und was ist genau hebbare Definitionslücke?


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Antwort von v_love | 18.08.2012 - 23:43
man betrachte die funktion f(x)=P(x)/Q(x), wobei P und Q polynome sind.
die nullstellen von Q sind die definitionslücken der funktion.
sei x0 eine solche definitionslücke.
nun unterscheidet man 2 verschiedene fälle:
1) lim(x-->x0)f(x) ist endlich. dann nennt man x0 eine hebbare definitionslücke, weil man dann f stetig (auf einen größeren def. bereich der nun x0 enthält) fortsetzen kann.
beispiel: f(x)=x/x, x0=0 und lim(x-->x0)=1, also endlich.
2) lim(x-->x0)|f(x)|=unendlich, dann ist x0 eine polstelle.
beispiel: f(x)=1/x, x0=0, offenbar ist |1/x|-->unendlich für x-->0.

anschaulich haut also der graph der funktion bei polstellen ins unendliche ab und bei hebbaren def.lücken - das sind löcher, die man zustopfen kann (genau das tut eine fortsetzung) - nicht.

(bei allgemeineren funktionen stimmt übrigens das vorher gesagte so nicht. auch das, was man in wiki bei "polstelle" als ersten satz findet stimmt dann nicht.
braucht dich aber nicht wirklich zu interessieren, weil ihr das nur bei rationalen funktionen diskutieren werdet.)

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