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Konvergenz

Frage: Konvergenz
(26 Antworten)


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Frage:

Überprüfen sie ob die folgende Reihe konvergent ist.


Summenzeichen hoch unendlich unten steht n=1 (2n+1)/(n^2 - 4n - 1)


Für jegliche hilfe wäre ich dankbar.
Frage von Boyxy (ehem. Mitglied) | am 25.02.2011 - 15:07


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Antwort von Peter | 25.02.2011 - 15:19
was weißt du denn bisher selbst?

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Antwort von 2009alex (ehem. Mitglied) | 25.02.2011 - 17:53
Hi die Frage ist relativ einfach.

Überlege einmal wie groß der Term an sich wird, wenn n gegen unendlich geht?
Der Term geht gegen null, da n^2 im Nenner steht. Das bedeutet gegen welche Zahl der Term auch immer in Summe konvergiert, er konvergiert.

Okay?

 
Antwort von GAST | 25.02.2011 - 21:04
das war an der aufgabe vorbei ...

könntest zähler und nenner etwas umschreiben und dann etwa so abschätzen: a(n):=|(2n+1)/(n²-4n-1)|>|2(n-2)/(n-2)²| f.ü.
oder betrachte die folge (n*a(n)). berechne davon den grenzwert (sollte dir einfach fallen).
was folgt daraus? warum?


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 00:13
>|2(n-2)/(n-2)²| f.ü.

Wie kommst du darauf kannst du mir das erklären.
Ich vermute das die Folge gegen null geht.

Und wie soll ich n * an machen .

Was soll ich für an und was für n einsetzen?


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Antwort von S_A_S | 26.02.2011 - 00:20
Hast dus wenigstens schon mal eines der klassichen Konvergenzkriterien versucht? Die Folge ist ja nun wirklich nicht sehr kompliziert.

Dass, die der Reihe "zu Grunde" ligende Folge eine Nullfolge ist, ist eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung zur Konvergenz.

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 12:37
">|2(n-2)/(n-2)²| f.ü.

Wie kommst du darauf kannst du mir das erklären."

2n+1=2(n-2)+5, n²-4n-1=(n-2)²-5, und dann kannst du abschätzen.


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Antwort von 2009alex (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 14:36
Oh, SAS hat recht damit, das Stichwort harmonische Reihe sollte nun weiterhelfen. Mehr dazu in WIKIPEDIA.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 14:59
Aber wie überprüfe ich jetzt dass die Reihe konvergent ist.
Kann mir das jemand bitte erklären?


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 17:28
Kann mir jemand noch vielleicht paar tips geben ?

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 18:05
wie viele tips brauchst du denn noch?

wie gesagt, kannst du versuchen a(n) abzuschätzen, in etwa so, wie ich das gemacht habe, oder du berechnest den grenzwert von (n*a(n)), ebenfalls nicht schwer (a(n) habe ich bereits definiert) und folgerst daraus alles nötige.

jedenfalls solltest du anfangen, selber dir gedanken zu machen, wie man solche aufgaben löst.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:33
Mann kann das doch auch mit ausklammern beweisen oder

usgeklammert wäre dass ja

(2n+1)/(n^2 - 4n - 1) = n* ( 2+ 1/n ) / n * ( n - 4 - 1/ n )

Aber wie beweise ich jetzt , dass die Reihe konvergiert.

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 18:36
ja, ok.

so kannst du die abschätzung auch sehen, wenn du n wegkürzt, etc.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:39
( 2+ 1/n ) / ( n - 4 - 1/ n )

Dann hätte ich das , aber was kann ich jetzt als nächstes machen ?
Möchte endlich die Aufgabe lösen , aher bitte ich um Hilfe

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 18:43
nenner vergörßern, zähler verkleinern.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:46
Wenn ich werte Einsetze kommen die 1/3 , 1/ 4 und so weiter also konvergiert die Reihe gegen 0 nach dem Majoramtenkriterium oder ?


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Antwort von 2009alex (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:47
Also wenn das eine harmonische Reihe gem Summe von 1/n für n=1 -> unendlich ist, dann ist die Funktion divergent, auch wenn es eine Funktion ist, die gegen Null geht.

Wenn Du programmieren kannst, dann führe die Funktion doch einfach einmal aus und Du wirst sehen, daß bis 1.000.000 noch immer keine Konvergenz zu sehen ist.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:51
Also divergiert die Reihe und geht gegen 0 . Ist diese Erklärung ausreichend?

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 18:51
"Wenn ich werte Einsetze kommen die 1/3 , 1/ 4 und so weiter also konvergiert die Reihe gegen 0 nach dem Majoramtenkriterium oder ?"

werte einsetzen bringt nichts, schätze das wie gesagt ab.
was konvergiert ist hier nicht die reihe, sondern die folge.
(gegen 0 kann die reihe schon gar nicht konvergieren, fast alle summanden sind doch >0, und die anderen sind zu klein - betragsmäßig)

 
Antwort von GAST | 26.02.2011 - 18:53
"Also divergiert die Reihe und geht gegen 0"

eine divergente reihe geht gegen 0? klingt nach widerspruch.

majarantenkriterium war schon ok als begründung, dafür musst du das aber noch passend abschätzen.


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Antwort von Boyxy (ehem. Mitglied) | 26.02.2011 - 18:55
Ich komme leider nicht, kannst du es mir bitte einfach sagen

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