Einführung in die Integralrechnung

du musst die funktion integrieren sodass du die stammfunktion F(x) erhältst...dann rechnest du F(60)-F(0)...man setzt erst den größeren grnzwert ein und und dann den kleineren und subtrahiert das...weißt du wie man integriert?


die stammfunktion wäre in dem fall F(x)=x³/300 + 40x sofern deine funktion f(x)=x²/100 + 40 ist

dann rechnest du wie gesagt F(60)-F(0) also
(60³/300 + 40*60) - (0³/300 + 40*0)

die zweite klammer fällt weg da sie o ergibt...also ist die fläche unter dem graphen:
(60³/300 + 40*60)

"man setzt erst den größeren grnzwert..."

weißt du überhaupt was ein grenzwert ist? wahrscheinlich nicht.

im übrigen gehts hier um EINFÜHRUNG in die integralrechnung.

nur zur frage:
O(n)=60/n[f(60/n)+f(2*60/n)+...f(n*60/n)]
jetzt rechnest du das aus und rechnest den grenzwert für n-->unendlich aus.

allgemein gilt übrigens für eine stetige funktion f im intervall [0;a]:

O(n)=a/n[f(a/n)+f(2a/n)+...f(a)]

ne, du musst schon noch den flächeninhalt ausrechnen. du kannst ja nicht einfach in der mitte bzw viel mehr am anfang aufhören.

du musst n-->unendlich laufen lassen, weil du willst, dass die rechtecke immmer schmaler werden (und somit die anzahl der rechtecke gegen unendlich geht). wenn du das nicht machst, dann stehen die rechtecke "über" dem graphen von f und somit wird der flächeninhalt größer.

ein tipp: fasse die ganzen 40 zu 40n zusammen. kannst du deshalb machen, weil du die 40 n mal mit sich selbst addieren musst.

erstmal beweise ich eine formel, die ich für meine rechnung verwenden werde:

behauptung:

summe von i=1 bis z über alle i²=z/6(z+1)(2z+1)

beweis: wenn das für z gilt, muss es auch für z+1 gelten:
summe von i=1 bis z+1 über alle i²=(z+1)/6(z+2)(2z+3)<=>
summe von i=1 bis z über alle i²+(z+1)²=(z+1)/6(z+2)(2z+3)<=>
z/6(z+1)(2z+1)+(z+1)²=(z+1)/6(z+2)(2z+3)<=>0=0 w.A. daraus folgt behauptung

O(n)=60/n[f(60/n)+f(120/n)+f(180/n)+...+f(60)]
=60/n[3600/(100n²)+40+2²(3600/(100n²))+40+...+3600/100+40]
=60/n[1²*36/n²+2²*36/n²+3²*36/n²+...+36+40n²]
=60/n[36/n²(1²+2²+3²+...+n²)+40n²]
=2160/n³(1²+2²+3³+...+n²)+2400
=2160/n³[n/6(n+1)(2n+1)]+2400=2160/n³[(n²/6+n/6)(2n+1)]+2400
=2160/n³[n³/3+n²/6+n²/3+n/6]+2400=720+360/n+720/n+360/n²+2400

lim(n-->unendlich)[720+360/n+720/n+360/n²+2400]=720+0+0+0+2400=3120=
integral[f(x)]dx in [0;60]