Facharbeit Integralrechnung

Willkommen im Forum garciagonzalez.

Ich weiß nicht, ob die Themen zu schwer werden:
(Ich möchte auch nur inhaltliche Aspekte nennen.
Ich weiß nicht genau, wie man das als Themen formulieren sollte.)
Also erstmal wie funktioniert überhaupt die Integralrechnung?
Es geht hier um das Riemann Integral (es gibt noch andere!).
Was ist die Idee?
(Über Flächeninhalte von Rechtecken nach oben bzw.
unten annähern.
Vielleicht nicht zu mathematisch.
Das könnte kompliziert werden.)

Partielle Integration, Substitution (in der Schule macht man teilweise nur lineare Substitution, also jetzt vielleicht nicht lineare Substitution?).

Und was wirklich schwer werden könnte:
Es gibt das Riemann-Stieltjes Integral. Dies ist eine Verallgemeinerung,
aber die Idee kann man noch einigermaßen "leicht" beschreiben.

Auch könnte das Lebegue-Integral interessant sein.
Das scheint mir aber unmöglich das in der Schule genau zu fassen.
Eventuell kann man aber die Idee erklären
und den wichtigen Unterschied, dass man hier nicht nur endliche Summationen
von Rechtecken machen kann sondern abzählbare.
Deswegen kann man damit zum Beispiel das Integral über die Funktion
f(x) = 0, falls x aus ℚ
und f(x)=1, falls x aus ℝℚ
berechnen. Wobei man der Einfachheit halber f nur für das Intervall [0,1] definiert
und das Integral von 0 bis 1 nimmt.
(Ich weiß aber nicht, ob diese Verallgemeinerungen des Integralbegriffs vielleicht viel zu schwer sind.)