Gegenseitige Lage von Geraden

Warte... ich setz` mich mal eben ran! ;)

ok dankeschön..und ich kämpfe mich dann mal weiter durch diese Aufgaben..

g1: x=A+AB
g2: x=A+AC
g3: x=B+AC

2 ist genau so...geradengleichung aufstellen
g1:x=A1+A1
g2:x=A2+AB

3.
h: x=(0|0|0)+r(1|1|0)
g: x=(0|0|0)+s(-1|1|0)
g.i.:x=(0|1|0)+r(1|-1|0)
g.j.:x=(5|4|3)+s(2|0|9)

Schreibe die Vektoren hier, wie (a)(b)(c), den Rest kann man nicht lesen.

1. Untersuchen sie, ob eine Seite des Dreicks
A(3|3|6),
B(2|7|6),
C(4|2|5) auf der Geraden
g: vektor x = (2)(-1)(0) + t *(1)(2)(1)
liegt oder zu g parallel ist.

Gerade durch AB: x = (3)(3)(6) + r*(-1)(4)(0)
Gerade durch AC: x = (3)(3)(6) + r*(1)(-1)(-1)
Gerade durch BC: x = (2)(7)(6) + r*(2)(-5)(-1)

Anhand der Richtungsvektoren der Geradengleichungen kann man erkennen, dass keine Linearabhängigkeit besteht. Daher sind sie weder Prarallel noch aufeinander (identisch).

2. Die Gerade g [hat] den Richtungsvektor (2|5|0).
Die Gerade h geht durch den Punkt B (-2|3|1) und hat den Stützvektor (3|1|0).

überprüfen sie, ob sich die Geraden g und h schneiden. Berechnen sie ebenfalls die Koordinaten des schnittpunktes...

Zur Aufgabe 2 fehlt die Angabe des Stützvektors, also ist sie nicht lösbar.
Allerdings könnte man einen Stützvektor(schar) p für
g: x= p + s*(2)(5)(0) mit p = (-4)(-2)(1) + i*(-2)(3)(1)
bestimmen, für die Alle gilt, dass sich die geraden schneiden.

3. Geben sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine G. i die zur geraden g parallel ist und eine G. j , die zur G. g windschief ist....

g: x = (1)(1)(1) + t*(1)(1)(1)
h: x = (1)(1)(1) + r*(2)(4)(-5) [gemeinsamer Punkt, jedoch unterschiedliche Richtungsvektoren]
i: x = (1)(2)(3) + s*(2)(2)(2) [kein Gemeinsamer Punkt, jedoch linearabhängige Richtungsvektoren]
j: x = (3)(4)(5) + t*(1)(2)(3) [kein Gemeinsamer Punkt und linearunabhängige Richtungsvektoren]

Also:

Du hast drei Punkte...

A (3|3|6)
B (2|7|6)
C (4|2|5)

... die in einem Dreieck die Eckpunkte darstellen. Also musst du dir folgendes vorstellen:



So. Nun müssen wir untersuchen, ob die drei Vektoren auf der Geraden liegen. Dazu müssen wir für jeden Vektor eine Vektorengleichung aufstellen. Das ist leicht gemacht...

Es gilt die Regel:

-> Ortsvektor ist der erste gegebene Punkt, in unserem Fall also der Punkt A = (3|3|6)
-> Richtungsvektor ist der erste minus dem zweiten Punkt, in unserem Fall demnach A-B -> (3|3|6) - (2|7|6) = (1|-4|0)

Also ist die 1. Vektorengleichung g: x = (3|3|6) + t*(1|-4|0)

Diese wird nun mit der gegebenen Gradengleichung gleichgesetzt:

(2|-1|0) + t1*(1|2|1) = (3|3|6) + t2*(1|-4|0)

Das passiert im linearen Gleichungssystem:

1.) 2 + t1 = 3 + t2
2.) -1 + 2t1 = 3 -4t2
3.) 0 + t1 = 6

Diese Gleichungen sind einfach die geteilten Vektorengleichungen:



Mithilfe dieser 3 Gleichungen kannst du t1 herausfinden:

3.) 0 + t1 = 6
-----------------------
0 + t1 = 6
t1 = 6

So. Diesen Wert für t1 setzt du jetzt z. B. bei der 1. Gleichung ein:

1.) 2 + t1 = 3 + t2
-----------------------
2 + t1 = 3 + t2 | t1 = 6
2 + 6 = 2 + t2 | Umformen
8 = 2 + t2 | -2
6 = t2

Jetzt haben wir t1 und t2 herausbekommen. In diesem Fall sind beide gleich 6!

Das setzen wir nun in die vorhin aufgestellte Gleichsetzung ein:

(2|-1|0) + 6*(1|2|1) = (3|3|6) + 6*(1|-4|0)

Das rechnest du jetzt aus und wenn links und rechts das gleiche herauskommt, dann sind sie identisch, liegen also aufeinander. Wenn sie verschiedene Lösungen haben, dann schneiden sie sich!

Das machst du jetzt genauso mit B und C und fertig! ;)

Gruß
Roman

Japs... Aufgabe 2 braucht noch einen Ortsvektor, denn es sieht ja immer so aus:

ORTSVEKTOR + FAKTOR * RICHTUNGSVEKTOR

Beispiel:


Der erste Teil...

ist ja schön und gut das man einen braucht...fragt sich nur ob einer gegeben ist

@Azelya: Sicher, dass kein Ortsvektor gegeben war?

Zitat:
Die Gerade g [hat] den Richtungsvektor (2|5|0).
Die Gerade h geht durch den Punkt B (-2|3|1) und hat den Stützvektor (3|1|0).

also in meinen Augen ist zur Geraden g kein Punkt gegeben. Darum habe ich einfach eine Schar von Punkten angegeben, bei denen ein Schnittpunkt vorliegen würde ...