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Gegenseitige Lage von Geraden

Frage: Gegenseitige Lage von Geraden
(25 Antworten)

 
hi..könnte mir vielleicht jemand helfen folgene aufgaben zu lösen?

1.
Untersuchen sie, ob eine Seite des Dreicks A (3|3|6) , B (2|7|6), C(4|2|5) auf der Geraden g: vektor x = (2) (-1)
(0) + t * (1 )
(2) (1 )
liegt oder zu g parallel ist.

2. Die Gerade g gehht durch den Richtungsvektor (2|5|0).
Die Gerade h geht durch den Punkt B (-2|3|1) und hat den Stützvektor (3|1|0).

èberprüfen sie, ob sich die Geraden g und h schneiden. Berechnen sie ebenfalls die Koordinaten des schnittpunktes...

3. Geben sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine G. i die zur geraden g parallel ist und eine G. j , die zur G. g windschief ist....

ich möchte nur wissen wie ich diese und ähnliche Aufgaben berechnen kann..

ich freue mich auf jeden sinnvollen Beitrag

mfg Azelya
GAST stellte diese Frage am 12.05.2007 - 14:42

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:50
will mir keiner helfen...?ich will nicht,
dass ihr die aufgaben rechnet oder so, will nur, dass mir erklärt wird wie ich die aufgaben lösen kann..

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:52
Warte... ich setz` mich mal eben ran! ;)

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:52
die 3 geradengleichungen aufstellen und prüfen wie sie zu der graden legen
identisch wenn aufpunkt von g1 auf g2 liegt
parallel wenn aufpunkt von g1 nicht auf g2 liegt

das natürlich wenn richtungsvektoren parallel sind

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:53
ok dankeschön..und ich kämpfe mich dann mal weiter durch diese Aufgaben..

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:55
und welche 3 geradengleichungen meinst du? ich weiß ja nicht wie ich die aufstellen soll aufstellen..das ist ja mein prob..

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 14:57
g1: x=A+AB
g2: x=A+AC
g3: x=B+AC

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:00
war net ganz richtig
ich meinte g3: x=B+BC

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:12
2 ist genau so...geradengleichung aufstellen
g1:x=A1+A1
g2:x=A2+AB

3.
h: x=(0|0|0)+r(1|1|0)
g: x=(0|0|0)+s(-1|1|0)
g.i.:x=(0|1|0)+r(1|-1|0)
g.j.:x=(5|4|3)+s(2|0|9)

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:17
was meinst du mit A1 + A1? was ist A1?bzw was ist A2?


Autor
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95
Antwort von Double-T | 12.05.2007 - 15:18
Schreibe die Vektoren hier, wie (a)(b)(c), den Rest kann man nicht lesen.

1. Untersuchen sie, ob eine Seite des Dreicks
A(3|3|6),
B(2|7|6),
C(4|2|5) auf der Geraden
g: vektor x = (2)(-1)(0) + t *(1)(2)(1)
liegt oder zu g parallel ist.

Gerade durch AB: x = (3)(3)(6) + r*(-1)(4)(0)
Gerade durch AC: x = (3)(3)(6) + r*(1)(-1)(-1)
Gerade durch BC: x = (2)(7)(6) + r*(2)(-5)(-1)

Anhand der Richtungsvektoren der Geradengleichungen kann man erkennen, dass keine Linearabhängigkeit besteht. Daher sind sie weder Prarallel noch aufeinander (identisch).

2. Die Gerade g [hat] den Richtungsvektor (2|5|0).
Die Gerade h geht durch den Punkt B (-2|3|1) und hat den Stützvektor (3|1|0).

überprüfen sie, ob sich die Geraden g und h schneiden. Berechnen sie ebenfalls die Koordinaten des schnittpunktes...

Zur Aufgabe 2 fehlt die Angabe des Stützvektors, also ist sie nicht lösbar.
Allerdings könnte man einen Stützvektor(schar) p für
g: x= p + s*(2)(5)(0) mit p = (-4)(-2)(1) + i*(-2)(3)(1)
bestimmen, für die Alle gilt, dass sich die geraden schneiden.

3. Geben sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine G. i die zur geraden g parallel ist und eine G. j , die zur G. g windschief ist....

g: x = (1)(1)(1) + t*(1)(1)(1)
h: x = (1)(1)(1) + r*(2)(4)(-5) [gemeinsamer Punkt, jedoch unterschiedliche Richtungsvektoren]
i: x = (1)(2)(3) + s*(2)(2)(2) [kein Gemeinsamer Punkt, jedoch linearabhängige Richtungsvektoren]
j: x = (3)(4)(5) + t*(1)(2)(3) [kein Gemeinsamer Punkt und linearunabhängige Richtungsvektoren]

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:19
A1=richtungsvektor und aufpunkt von gerade g1
A2=aufpunkt von gerade g2

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:20
Also:

Du hast drei Punkte...

A (3|3|6)
B (2|7|6)
C (4|2|5)

... die in einem Dreieck die Eckpunkte darstellen. Also musst du dir folgendes vorstellen:



So. Nun müssen wir untersuchen, ob die drei Vektoren auf der Geraden liegen. Dazu müssen wir für jeden Vektor eine Vektorengleichung aufstellen. Das ist leicht gemacht...

Es gilt die Regel:

-> Ortsvektor ist der erste gegebene Punkt, in unserem Fall also der Punkt A = (3|3|6)
-> Richtungsvektor ist der erste minus dem zweiten Punkt, in unserem Fall demnach A-B -> (3|3|6) - (2|7|6) = (1|-4|0)

Also ist die 1. Vektorengleichung g: x = (3|3|6) + t*(1|-4|0)

Diese wird nun mit der gegebenen Gradengleichung gleichgesetzt:

(2|-1|0) + t1*(1|2|1) = (3|3|6) + t2*(1|-4|0)

Das passiert im linearen Gleichungssystem:

1.) 2 + t1 = 3 + t2
2.) -1 + 2t1 = 3 -4t2
3.) 0 + t1 = 6

Diese Gleichungen sind einfach die geteilten Vektorengleichungen:



Mithilfe dieser 3 Gleichungen kannst du t1 herausfinden:

3.) 0 + t1 = 6
-----------------------
0 + t1 = 6
t1 = 6

So. Diesen Wert für t1 setzt du jetzt z. B. bei der 1. Gleichung ein:

1.) 2 + t1 = 3 + t2
-----------------------
2 + t1 = 3 + t2 | t1 = 6
2 + 6 = 2 + t2 | Umformen
8 = 2 + t2 | -2
6 = t2

Jetzt haben wir t1 und t2 herausbekommen. In diesem Fall sind beide gleich 6!

Das setzen wir nun in die vorhin aufgestellte Gleichsetzung ein:

(2|-1|0) + 6*(1|2|1) = (3|3|6) + 6*(1|-4|0)

Das rechnest du jetzt aus und wenn links und rechts das gleiche herauskommt, dann sind sie identisch, liegen also aufeinander. Wenn sie verschiedene Lösungen haben, dann schneiden sie sich!

Das machst du jetzt genauso mit B und C und fertig! ;)

Gruß
Roman

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:31
"Zur Aufgabe 2 fehlt die Angabe des Stützvektors, also ist sie nicht lösbar."
ne, eigentlich ist sie lösbar

g1 hat den richtungsvektor (2|5|0)...und geht auch durch diesen punkt.
was folgt daraus?

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:36
Japs... Aufgabe 2 braucht noch einen Ortsvektor, denn es sieht ja immer so aus:

ORTSVEKTOR + FAKTOR * RICHTUNGSVEKTOR

Beispiel:


Der erste Teil...

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:37
und was mach ich wenn ich den ortsvektor nicht gegeben hab?

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:39
ist ja schön und gut das man einen braucht...fragt sich nur ob einer gegeben ist

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:41
ja und was ist zu tun wenn keiner gegeben ist? mathe Lk`ler loss!:)

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:41
@Azelya: Sicher, dass kein Ortsvektor gegeben war?

 
Antwort von GAST | 12.05.2007 - 15:46
ja ganz sicher.... nur der richtungsvektor (2|5|0) und der Punkt A (3|8|0) durch den die gerade g geht.

gerade h: Stützvektor (3|1|0) und der Punkt B(-2|3|1) durch den die gerade h geht....


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Antwort von Double-T | 12.05.2007 - 15:48
Zitat:
Die Gerade g [hat] den Richtungsvektor (2|5|0).
Die Gerade h geht durch den Punkt B (-2|3|1) und hat den Stützvektor (3|1|0).

also in meinen Augen ist zur Geraden g kein Punkt gegeben. Darum habe ich einfach eine Schar von Punkten angegeben, bei denen ein Schnittpunkt vorliegen würde ...

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