Mathe-Klausur: Vekrorenrechnung im Raum
Mathe Klausur, GK, 12.Kl nur 1.Teil
1) Gegeben sind 3 Punkte des Raumes
A(2;2;-2) B(4;-4;2) C(8;2;2)
a) Zeige, dass diese 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern ein Dreieck bilden.
Lösungsweg: Man muss zeigen, dass einer dieser Punkte z.B. Pkt. C nicht auf der Geraden AB liegt.
Hier verwendet man 2-Punkteform x= x1 + r (x2-x1) x = x-Vektor (y)
x = A + r ( B-A )
Daraus Gleichungssystem erstellen und "r" ausrechnen
"r" gleich à Punkt C liegt auf der Geraden AB
I. 8 = 2 + 2r r à 3
II. 2 = 2 - 6r r à 0 Somit ist bewiesen, dass die 3 Punkte A,B,C einen Dreieck
III. 2 = -2 + 4r r à -1 ergeben müssen
b) Weise nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Lösungsweg: Formel à √ (XB -XA)2 + (YB-YA) 2 + (ZB-ZA) 2
AB = √ (2 2+(-6) 2+4 2) = √56
Seiten b und a sind gleich AC = √ (62+0 2+4 2) = √52
gleichschenklig
BC = √ (-4)2+(-6) 2+0 2) = √52
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreieckes.
A = ½ ab * sin γ c2 = a2 +b2 - 2ab* cos γ
a 2 +b 2 -c 2
2 ab
__ __ __
√52 2 + √52 2 -√56 2
cos γ = -------------------- =0,46153
2* √52 2 * √52 2
cos-1 γ = 62,5°
__ __
A= ½ * √52 2 * √52 2 * sin γ
A= 23,06 cm 2
d) Stelle 2 Parametergleichungen für die Seitenhalbierenden die durch die Eckpunkte A u. B verlaufen auf und errechne deren Schnittpunkt.
M= Mittelpunkt Formel: ½ Ay + By
MCB = ½ -2 MCB =(6, -1, 2)
MCA=(5, 2, 0)
A=(2,2,-2) B(4,-4,2)
MCB =(6, -1, 2) MCA=(5, 2, 0)
x = x1 + r (x2-x1) x = x1 + s (x2-x1)
x = 2 + r -3 x = - 4 + s 6
I. 2 + 4r = 4 + 1s
II. 2 – 3r = -4 + 6s s.und r.= 2/3
III. -2 +4r = 2- 2s (in die Gleichungen einsetzen)
I. 4 2/3 = 4 2/3
II. 0 = 0
III. 2/3 = 2/3
Somit ergibt sich der Schnittpunkt S = (4 2/3, 0, 2/3)
Inhalt
Mathe-Klausur zum Thema "Vektorrechnung im Raum".
(Berechnung von Geradengleichungen / Schnittpunkten) (433 Wörter)
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