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Schule > Mathematik > Algebra und Funktionen > Mathe-Klausur: Vekrorenrechnung im Raum

Mathe Klausur, GK, 12.Kl nur 1.Teil

1) Gegeben sind 3 Punkte des Raumes

A(2;2;-2) B(4;-4;2) C(8;2;2)

a) Zeige, dass diese 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern ein Dreieck bilden.

Lösungsweg: Man muss zeigen, dass einer dieser Punkte z.B. Pkt. C nicht auf der Geraden AB liegt.

Hier verwendet man 2-Punkteform x= x₁ + r (x₂-x₁) x = x-Vektor (y)
x = A + r ( B-A )

Daraus Gleichungssystem erstellen und "r" ausrechnen
"r" gleich à Punkt C liegt auf der Geraden AB
"r" ungleich à Punkt C liegt nicht auf der Geraden AB

I. 8 = 2 + 2r r à 3
II. 2 = 2 - 6r r à 0 Somit ist bewiesen, dass die 3 Punkte A,B,C einen Dreieck
III. 2 = -2 + 4r r à -1 ergeben müssen

b) Weise nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Lösungsweg: Formel à √ (X_B -X_A)² + (Y_B-Y_A) ² + (Z_B-Z_A) ²

AB = √ (2 ²+(-6) ²+4 ²) = √56

Seiten b und a sind gleich AC = √ (6²+0 ²+4 ²) = √52
gleichschenklig
BC = √ (-4)²+(-6) ²+0 ²) = √52

c) Berechne den Flächeninhalt des Dreieckes.

A = ½ ab * sin γ c² = a² +b² - 2ab* cos γ

a ² +b ² -c ²
cos γ = --------------
2 ab

__ __ __
√52 ² + √52 ² -√56 ²
cos γ = -------------------- =0,46153
2* √52 ² * √52 ²

cos^-1 γ = 62,5°
__ __
A= ½ * √52 ² * √52 ² * sin γ

A= 23,06 cm ²

d) Stelle 2 Parametergleichungen für die Seitenhalbierenden die durch die Eckpunkte A u. B verlaufen auf und errechne deren Schnittpunkt.

M= Mittelpunkt Formel: ½ Ay + By
M_CB = ½ -2 M_CB =(6, -1, 2)
M_CA=(5, 2, 0)
A=(2,2,-2) B(4,-4,2)
M_CB =(6, -1, 2) M_CA=(5, 2, 0)
x = x₁ + r (x₂-x₁) x = x₁ + s (x₂-x₁)

x = 2 + r -3 x = - 4 + s 6

I. 2 + 4r = 4 + 1s
II. 2 – 3r = -4 + 6s s.und r.= 2/3
III. -2 +4r = 2- 2s (in die Gleichungen einsetzen)

I. 4 2/3 = 4 2/3
II. 0 = 0
III. 2/3 = 2/3

Somit ergibt sich der Schnittpunkt S = (4 2/3, 0, 2/3)

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