Körper mit 8 Elementen: Beweis gesucht

Ja, wie man auf die 2³ kommt war mir irgendwie schon klar, nur ist mir nicht genau klar, wieso man diesen Körper mit Polynomen vom Grad <= 2 identifizieren kann. Also ich stelle es mir halt in der Art wie bei Z/mZ vor, nur kann ich es formal nicht genau "beweisen". Heißt das, dass nur der Grad von p(X) relevant ist? Also sieht mein Körper für alle p(X) mit Grad 3 gleich aus?

"Heißt das, dass nur der Grad von p(X) relevant ist?"

ja

"Also sieht mein Körper für alle p(X) mit Grad 3 gleich aus?"

nein, i.a. ist F_2[X]/(p) kein körper.

man kann aber immer F_2[X]/(p) als F_2 -VR auffasen und dieser hat die dimension grad p.
die begründung ist (mehr oder weniger) grundschulmathematik. nach dem satz über polynomdivision kann man ein beliebig polynom h in F_2[X] in polynome q und r in F_2[X] so zerlegen, dass h=p*q+r und grad r<grad p, damit ist die dimension des obigen VR höchstens grad p, sie ist auch mindestens grad p, weil aus c_1*X^0+...+c_{grad p}*X^(grad P-1)=0 (für alle X) folgt c_1+...+c_{grad p} und hieraus wiederum c_1=...=c_{grad p}

gut, da F_2 die mächtigkeit 2 hat, ist klar wie viele elemente K enthält.