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Beweis der Quotientenregel

Frage: Beweis der Quotientenregel
(3 Antworten)


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Beiträge 0
13
Hallo,
wir haben endlich in Analysis die ganzen Differentiationsregeln.

Allerdings habe ich eine Frage zum Beweis der Quotientenregel. Unser Prof hat das eigentlich relativ easy gezeigt, aber mir leuchtet nicht ein, wie das Minus bei
{-g`(x0)}/{g(x0)^2} entsteht. Das leuchtet mir derzeit nicht wirklich ein.
Auf dem Bild ist der komplette Beweis der Quotientenregel, so wie er ihn angeschrieben hat.
Frage von clemens1992 (ehem. Mitglied) | am 17.12.2012 - 18:13


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 19.12.2012 - 19:20
Das liegt an der Ableitung von 1/v(x). Vielleicht macht es dir dieser beweis besser klar:


sei f(x) = u(x)/v(x)

f`(x)) = (u(x) * 1/v(x))`

nun Produktregel:

f`(x)) = (u(x) * 1/v(x))` = u`(x) * 1/v(x) + u(x)* (1/v(x))`

Schauen wir uns mal (1/v(x))` genauer an:

(1/v(x))` = (v(x)^(-1))` = -v`(x)*v(x)^(-2) = -v`(x)/v(x)^2


Also folgt: f`(x) = u`(x) * 1/v(x) + u(x)* (-v`(x)/v(x)^2) = (u`(x)*v(x) - u(x)*v`(x))/v(x)^2

q.e.d.


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 19.12.2012 - 22:19
das war überhaupt nicht die frage ...

das was du hier umkreist hast ist nicht der differenzenquotient (g(x)-g(x0))/(x-x0), sondern das -1 -fache davon. (g(x) und g(x0) sind vertauscht und subtraktion ist antikommutativ), dein term strebt also für x-->x0 gegen -g`(x0) und nicht gegen g`(x0), sofern g diffbar.


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 20.12.2012 - 13:48
Zitat:
(1/v(x))` = (v(x)^(-1))` = -v`(x)*v(x)^(-2) = -v`(x)/v(x)^2


Das wollte ich eigentlich genau hiermiet ausdrücken, woher das minus kommt. Aber hast schon recht, eigentlich nicht richtig auf die Frage eingegangen

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