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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Facharbeit: Satz des Pythagoras

Mathematik-Facharbeit über Pythagoras

Inhaltsverzeichnis
1) Wer war Pythagoras?
2) Satz des Pythagoras
3) Beweis des Satzes des Pythagoras
4) Höhensatz und Kathetenstaz
5) Anwendungsbeispiele

Wer war Pythagoras?

Hinweis: Alle Aussagen über Pythagoras sind lediglich Vermutungen, da fast sämtliche Schriften über Pythagoras zum großen Teil aus Legenden und Mythen bestehen und die Autoren sich höchstwarscheinlich nicht auf authentische Quellen beziehen konnten.
Pyhagoras wurde um 570 v.Chr. in Samos geboren Er studierte vermutlich die Lehren der versokratischen* Philosophen Thales, Anaximander, Pherekydes und Anaximenes.

Danach reiste er durch Ägypten und Babylonien. Angeblich soll ihn seine Abneigung dem Tyrannen Polykrates gegenüber, um 532 v.Chr. aus seiner Heimatstadt Samos vertrieben haben. Um 530 v.Chr. ließ er sich in einer grichischen Kolonie, im Süden Italiens, in Kroto nieder.
Hier gründete er durch Milons Hilfe die Schule der Pythagoreer. Milon war 12-maliger Gewinner der Olympischen Spiele, der reichste und bekannteste (er war noch bekannter als Pythagoras, wessen Ruf als Weiser von Samos schon in ganz Griechenland verbreitet war ) Mann der Stadt und Praktizierte zudem Philosophie und Mathematik.Er stellte Pythagoras einen Teil seines Hauses zur verfügung, welchen Pythagoras für die Schule der Pythagoreer nutze. Die Mitglieder dieser Schule waren zur Geheimhaltung verpflichtet, weshalb erst über die Pythagoreer des fünften Jahrhunderts genauere Nachrichten überliefert sind. Pythagoras starb vermutlich um 500 v.Chr. in Metapont.
*Vorsokratiker, Sammelbezeichnung für jene griechischen Philosophen, die in der Zeit von
600 v.Chr. bis zum Todesjahr des Sokrates 400 v.Chr. lebten und lehrten.Die Versokratier suchten
nach naturwissenschaftlichen Erklärungen der Welt. Im Mittelpunkt standen die Fragen des Kosmos (über seine Entstehung und den Aufbau).

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras lautet:
„In einem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der Kathetenquadrate, gleich
dem Hypotenusenquadrat.“
a²+b²=c²
Dass heißt, dass wenn man die Längen der
Katheten, also der beiden kürzesten und
am rechten Winkel anliegenden Seiten
quadriert und zusammenrechnet, dass
dieses dann entstandene Quadrat dem
der Hypotenuse, also dem, welches man
erhält wenn man die Länge der längsten
Seite im Dreieck quadriert entspricht.

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras:
Mit der Umkehrung des Satzes kann man herausfinden ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Hierzu muss man alle Seitenlängen kennen.

Beispiel:

Dreieck 1:
a=1cm; b=4cm; c=7cm
a²+b²=c²
1²+4²=17; 1²+4² 7²
damit ist bewiesen, dass das Dreieck nicht rechtwinkligist.

Beweis des Satzes des Pythagoras

Scherungsbeweis:
Hier nochmal ein beschriftetes Dreieck mit Kathetenquadraten
und dem Hypotenusenquadrat.
Das Dreieck mit seinen Kathetenquadraten und
dem Hypotenusenquadrat befindet sich in der Ausgangsposition.
Das Kathetenquadrat b² wird zuPunkt B geschert.
Der Flacheninhalt verändert sich nicht, solange
die Höhe gleich bleibt.
Das entstandene Parallelogramm b² wird um A gedreht und anschließend wieder geschert, sodass
es dem Quadrat c·q entspricht.
Seite 3
Nun wird das Kathetenquadrat a² geschert.
Das entstandene Parallelogramm a² wird um B gedreht und anschließend wieder geschert, sodass
es dem Quadrat c·p entspricht.
a² und b² entsprechen c²
Somit ist der satz des Pythagoras hiermit bewiesen.
Seite 4
Der Höhensatz
Die Folgerung aus dem Satz des Pythagoras sind Kathetensatz und Höhensatz.

Der Kathetensatz lautet:
a²=c·p
oder
b²=c·q
Der Kathetensatz wurde in meinem Beweis für den Satz des Pythagoras deutlich.

Der Höhensatz lautet:
„Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h,
die die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt.“
Dann ist h²=p·q

Umkehrung des Satzes:
„Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig“

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:
Du willst ein Badminton-Netz aufstellen. Weil das Netz ja gespannt wird, müssen die Pfosten, die das Netz halten, durch Fäden gestützt werden. Auf einem Beilagezettel von dem Badminton-Netz steht, damit die Fäden durch die große Kraft der Spannung nicht reißen, müssen sie mindestens 2 Meter von dem Pfosten entfernt in den Boden gesteckt werden. Du willst nun also los und solche Fäden kaufen. Damit du nun aber nicht zu kurze Fäden kaufst, könntest du dir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras die Mindestlänge der Fäden ausrechnen. Die Pfosten selbst sind 1,3 Meter hoch.
Rechnung: (Höhe des Pfostens)² + (Mindestabstand)² = (Mindestlänge des Fadens)²
1,3m 2m ?
a² + b² = c²
(1,3)²+(2)²= 1,69+4 =5,69
0,5
5,69 = 2,39 = c
Antwort: Die Mindestlänge des Faden beträgt 2,34, aufgerundet 4m.

Beispiel 2:
Ein Dachboden soll ausgebaut werden. Der nicht benutzbare teil des
Dachs soll mit einer Platte verdeckt werden. Der abzudeckende Boden
beträgt 1,2m. Der abzudeckende Teil des dachs beträgt 1,6m.
Wie groß muss die Holzplatte sein?

Rechnung:
(abzudeckendes Dach)² - (abzudeckender Boden)² = (benötigte Holzplatte)²
c² - a² = b²
(1,6)² – (1,2)² = 2,65 – 1,44 = 1,21
o,5
b²= 1,21 = 1,1
Antwort: Die Höhe der Platte muss 1,1m betragen.

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