Kurvendiskussion LGS und herleiten einer Rationalen Funktion

Hallo Kaehrn,


überlegen wir uns mal die Bedingungen:

Die Funktion soll durch die Punkte A und B laufen und dort jeweils die Steigung 0 haben.

Funktion geht durch Punkt A:
f(0)=4

Funktion geht durch Punkt B:
f(40)=0

Steigung 0 bei x=0:
f`(0)=0

Steigung 0 bei x=40:
f`(40)=0


Mit f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und f`(x)=3ax^2+2bx+c ergeben diese vier Gleichungen folgendes Gleichungssystem:

a(0^3)+b(0^2)+c(0)+d=4
a(40^3)+b(40^2)+c(40)+d=0 (Du hast wahrscheinlich hier das "+d" vergessen...)
3a(0^2)+2b(0)+c=0
3a(40^2)+2b(40)+c=0

Diese vier Gleichungen schön aufgeschrieben:

d = 4
64000a + 1600b + 40c + d = 0
c = 0
4800a + 80b + c = 0

Setzt man c=0 und d=4 ein ergeben sich die folgenden beiden Gleichungen:

64000a + 1600b = -4
4800a + 80b = 0

Teilt man nun die obere Gleichung durch 4 und multipliziert die untere Gleichung mit 5, so ergibt sich:

16000a + 400b = -1
24000a + 400b = 0

Untere minus obere Gleichung ergibt:

8000a = 1

und damit a = 1/8000 = 0,000125

Weiter gilt
60a + b = 0

also b = -60a = -60/8000 = -3/400 = -0,0075

Die gesuchte Funktion lautet demnach:

f(x) = (1/8000)x^3 - (3/400)x^2 + 4



Ich hoffe ich konnte helfen und der Rest ist vermutlich kein Problem mehr.


Gruß!