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Konvergenz

Frage: Konvergenz
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Hallo ich habe im moment ein problem bei einer Aufgabe.


Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionenfolgen punktweise und/oder gleichmäßig auf R gegen eine Grenzfunktion
konvergieren. Geben Sie, falls existent, die Grenzfunktion an.

gn (x)= e^x * nte wurzel aus e

Kann mir jemand sagen wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll bitte.
Frage von MrT (ehem. Mitglied) | am 07.05.2012 - 12:54


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 16:05
halte zunächst x fest und untersuche die folge a_n=e^x*e^(1/n) auf konvergenz.

(beachte e^(1/n)-->1 für n-->unendlich)

dann betrachte |fn(x)-f(x)|, wobei f der kandidat für die grenzfunktion ist und benutze e^x-->unendlich für x-->unendlich.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 20:00
e^x für x gegen unendlich müsste doch gegen 0 gehen oder?

|fn(x)-f(x)|: Was muss ich in dieser Gleichung für fn(x) und was für f(x) einsetzen ?


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 20:27
"e^x für x gegen unendlich müsste doch gegen 0 gehen oder?"

nicht wirklich

"|fn(x)-f(x)|: Was muss ich in dieser Gleichung für fn(x) und was für f(x) einsetzen ?"

fn sollte eigentlich gn heißen und was der kandidat für die grenzfunktion ist, solltest du schon selber herausfinden.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 20:41
Ist es so richtig?

|e^x * nte wurzel aus e - 1|< epsilon

Als grenzfunktion habe ich die 1 genommen.

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 20:47
1 ist ganz sicher keine gute wahl, weil die funktionenfolge dagegen sowieso nicht gleichmäßig konvergieren kann.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 20:50
Aber was nehme ich dann?


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 21:25
Ich glaube es müsste so sein:

|e^x * nte wurzel aus e - e^x|< epsilon

Aber trotzdem weiss ich nicht so richtig wie ich weiter vorgehen soll.


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 21:44
das ist definitiv besser, jetzt e^x ausklammern und dann das ganze für x-->unendlich betrachten für n aus N fest, aber beliebig.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 22:01
|e^x * nte wurzel aus e - e^x|< epsilon

e^x * ( nte wurzel aus e -1 ) < epsilon

e^x * ( 1 - 1 ) = 0

0 < epsilon

Soweit richtig?

Aber was mache ich nun?


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 22:16
nein, das ist nicht richtig.

e^(1/n) ist nicht 1.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 22:23
Warum nicht ?
1/n geht gegen 0 und e^0 ist 1.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 22:28
Was ist es dann?


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Antwort von v_love | 07.05.2012 - 22:37
wenn du die glm. konvergenz untersuchen willst, kannst du nicht einfach n gegen unendlich laufen lassen.

und selbst falls du an punktweiser konvergenz interessiert sein solltest, ist die form schlecht.


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Antwort von MrT (ehem. Mitglied) | 07.05.2012 - 23:08
Aber kannst du mir nicht bitte mit einem ansatz zeigen wie es richtig lautet , damit ich endlich wenigstens mit der aufgabe fertig werde.


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Antwort von v_love | 08.05.2012 - 19:58
das habe ich eigentlich schon gemacht; ein wenig eigeninitiative wäre nicht schlecht. ("endlich mit der aufgabe fertig werden" ist auch nicht die beste einstellung)

falls es dich noch interessiert:
wähle x aus R fest, dann gilt wegen e^(1/n)-->1 für n-->unendlich: gn(x)-->e^x*1=e^x=:g(x)

betrachte also sup|gn(x)-g(x)|=(e^(1/n)-1)*sup|g(x)|=unendlich für alle n aus N, also keine glm. konvergenz von gn.

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