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Beweis - Eigenwerte

Frage: Beweis - Eigenwerte
(2 Antworten)


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So ich bin jetzt mal wieder mit Fragen dran. Hänge an der Aufgabe:


A ist eine quadratische Matrix, sodass A^3 = I gilt. Wir nehmen an, 1 ist kein Eigenwert von A. Zeige:

A² + A + I = 0


Meine Idee ist erstmal:

Da 1 kein Eigenwert ist, gilt ja: det(A-I) ungleich 0 => A-I Invertierbar.

Naja jetzt scheitere ich bisschen. Bzw, wie könnte ich nun vorgehen?
Frage von shiZZle | am 19.03.2012 - 12:57


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 19.03.2012 - 13:35
mach ein widerspruchsbeweis,
nimm also an, dass A²+A+1<>0, benutze dann, dass (A-1)^-1 existiert und A^3=1 und es folgt sofort 0<>0.


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 19.03.2012 - 13:39
ICh habs jetzt mal so gemacht:

0 = A^3 - I = (A²+A+I)(A-I)

0 = (A^2+A+I)(A-I)(A-1)^-1 = A²+A+I

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