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Abbildungen injektiv

Frage: Abbildungen injektiv
(14 Antworten)


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Habe hier wieder eine schöne Aufgabe:

Es seien A,B,C Mengen, f: A-->B injektiv.
Welche der folgenden Abbildungen sind immer injektiv?

a) f*: Abb(C,A) --> Abb(C,B), g-->f°g

b) f*: Abb(B,C) --> Abb(A,C), g-->f°g


Erstmal, wofür steht f*?

Zweitens: Würde gerne wissen, wie ich nun bei solch einer Aufgabe vorgehen muss und wie mache ich die eigentlich? Würde die a) gerne mit euch zusammen machen und die b) dann für mich alleine um zu testen, ob ichs verstanden habe.
Frage von shiZZle | am 08.09.2011 - 19:14


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 19:19
f* suggeriert hier wohl nur, dass die abbildung etwas mit f zu tun hat.


vorgehen ist wie gehabt, zwei funktionen aus dem zielraum nehmen, die gleich sind und dann mit hilfe der information, die dir gegeben ist, zeigen, dass auch die urbilder gleich sind.

oder, wenn das nicht möglich sein sollte, ein gegenbeispiel bringen.


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 19:24
Mich verwirrt hier nur die Schreibweise.

Abb(C,A) --> Abb(C,B)

Wie ist das zu verstehen? Vorher hatte ich immer eine Abbildung in dem Schema:

f: A --> B Was bedeuten nun die Klammern? Das die Mengen vereinigt wurden? Also CA und CB?

Und wie ist g-->f°g zu verstehen? Ist nicht eine funktion? Aber in dem Fall welche Funktion? Fragen über Fragen ^^


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 19:30
"Was bedeuten nun die Klammern? Das die Mengen vereinigt wurden?

du meinst Abb(X,Y)?

das ist die menge der abbildungen f: X-->Y.

"Und wie ist g-->f°g zu verstehen?"

die funktion g: C-->A wird auf eine funktion f°g: C-->B geschickt.
man schreibt auch f*(g)=f°g statt g-->f°g.

du solltest beachten, dass das argument der funktion keine zahl mehr ist, sondern selbst eine funktion (du hast also eine funktion von funktionen), das mag im ersten moment etwas ungewöhnlich vorkommen, ist aber the usual case.


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 19:39
Finde es wirklich schwierig muss ich sagen. Die Injektivität habe ich gestern noch geschafft. Hatte da aber was anderes raus, was ich dir gleich noch im alten Thread mal posten möchte.

Konnte es aber nur durch dich schaffen, denn das ist echt wie ne neue Sprache für mich. Schul-Mathe hat damit irgendwie nichts mehr zutun.

Muss mich da echt reinfinden.

Back to topic:

Wenn Abb(C,A) --> Abb(C,B) gilt, kann ich dann nicht auch sagen: A -->B gilt? Da C-->A und C-->B, somit A-->B oder ist das eine falsche Annahme?


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 19:41
"Wenn Abb(C,A) --> Abb(C,B) gilt"

wie? was soll gelten?

"Da C-->A und C-->B, somit A-->B oder ist das eine falsche Annahme?"

verstehe ich jetzt nicht, muss ich sagen.


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 19:59
Okaay die Idee war dann wohl ein Griff ins Klo

Ich lass die Aufgabe erstmal weg. Versuche es mal mit dieser:

Zeigen Sie mit Hilfe der Induktion, dass für jedes n Element aus Z>0 gilt:

3^n > 2n²


Habs mal so gemacht:

Induktionsanfang:

3^n>2n² = 3^(n+1)>2(n+1)²

ISt das so richtig bisher?


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 20:01
das 2n²=3^(n+1) gilt bezweifele ich mal.

eigentlich musst du hier nur n=1 einsetzen.
schwerer ist der induktionsschritt.


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 20:08
Also muss ich hier nur sagen im Induktionsanfang:

3^n > 2n²

für n = 1 gilt:

3 > 2


Indunktionsschritt:

= 3^(n+1)>2(n+1)²

Kann man so weit vorgehen?


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 20:11
nein, dass 3^(n+1)>2(n+1)² gilt, wenn für ein festes n aus N 3^n>2n² gilt, musst du ja gerade zeigen.


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 20:34
Wie macht man das denn dann für beliebe n aus N?


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 20:43
als inspiration:

Zitat:
wir haben einmal durch integration bewiesen:
(1+x)^n >= (1+nx)
x+1 >= 0 und n >= 0 soll bewiesen werden

1 >=1 (wahr)
(1+x)^n >= (1+nx) sei wahr
(1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) >= (1+nx)(1+x)
= (1+x+nx*n^2 >= 1+x+nx
= 1+(n+1)*x (wahr) also bewiesen


wie du (hoffentlich) siehst, ist der beweis nicht ganz richtig. der fehler ist aber nicht entscheidend. (die ungleichung nennt man übrigens bernoulli-ungleichung)


zu deiner ersten aufgabe vielleicht noch ein wort:
du kannst hier auch folgenden satz verwenden, den du bereits vorher beweisen hast:
f ist genau dann injektiv, wenn f eine linksinverse hat.
(der beweis wird dadurch nicht wirklich einfacher, vielleicht hilft dir das aber trotzdem)


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 21:06
Bei mir hängts eher an diesem größer Zeichen, da ich das irgendwie nicht weg bekomme.


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Antwort von v_love | 08.09.2011 - 21:08
das sollst du ja auch nicht "wegbekommen"


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Antwort von shiZZle | 08.09.2011 - 21:24
Uiuiui. Kriege es gerade einfach nicht hin. Werde mal morgen weiter machen und dann nochmal schreiben. Danke bis hier hin v_love.

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