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surjektiv, injektiv, bijektiv?

Frage: surjektiv, injektiv, bijektiv?
(4 Antworten)

 
Hallo;)

Meine Frage: Ich soll Beispiele von Abbildungen f: Z --> Z, die surjektiv, aber nicht injektiv, bzw.
injektiv aber nicht surjektiv sind, sowie bijektive Abbildungen g: Z --> N und N --> NxN geben.

Ich verstehe die Aufgabe vollkommen nicht... Die Begriffe sind halb klar aber ich komme trotzdem nicht weiter :( Kann mir jemand helfen oder Tipps geben?

Und dann soll ich noch die Menge F der unendlichen Folgen von ganzen Zahlen betrachten:
F:={(a0,a1,a2,...)|ai Element aus Z}
und zeigen, dass es keine Bijektion f: Z --> F gibt...

Ich bin komplett überfordert :S
lg
GAST stellte diese Frage am 20.10.2011 - 16:41


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Antwort von Peter | 20.10.2011 - 17:01
surjektiv, aber nicht injektiv: dabei musst du die überlegen, welche funktion grenzwerte + unendlich und - unendlich haben, aber zumindest zweimal den gleichen funktionswert (z.b. f(x)=x³).


injektiv, aber nicht surjektiv: hier überlegst du, was im bildbereich zwar alle zahlen von R beinhaltet, aber mindestens einen wert der definitionsmenge keinem anderen zugeordnet wird (z.b. x=1/senkrechte linie durch x=1).

/edit: unterstrichener text falsch.
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Antwort von v_love | 20.10.2011 - 17:45
das war jetzt ziemlich daneben ...
surjektivität hat nichts mit irgendwelchen grenzwerten zu tun und eine funktion mit vorschrift f(x)=x³ ist allemal injektiv, muss aber nicht surjektiv sein.

1. definiere ähnlich wie z->z, baue aber einen "verschub" ein, um die injektivität zu zerstören.
2. irgendwas streng monotones, z.b. mit z->z³, zeige, dass damit f nicht surjektiv ist.
3. kanonisch definieren: 0->0, -1->1, 1->2, usw. (offenbar bijektiv)
4. einfachst möglich denken führt schon zum ziel, versuchs selber
5. mit am abstand das schwierigste, weshalb ich auch nicht allzu viel sagen möchte (weil sonst der lerneffekt komplett wegfällt): z.b.: beweis durch widerspruch:
angenommen es gibt so eine bijektion f, betrachte dann eine geeignete umordnung der ganzen zahlen (die auf jeden fall bijektiv ist) und verkette diese mit f, zeige, dass die verkettung nicht bijektiv ist.


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Antwort von Peter | 20.10.2011 - 18:14
sorry, denkfehler. x³+x² wäre surjektiv und nicht injektiv.

Zitat:
2. irgendwas streng monotones, z.b. mit z->z³, zeige, dass damit f nicht surjektiv ist.


laut aufgabenstellung von Z->Z.
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Antwort von v_love | 20.10.2011 - 18:26
auch wenn ich sonst nicht auf groß -und kleinschreibung achte, in der mathematik ist es notwendig und da tue ich es auch.

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