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Matrix - orthogonal?

Frage: Matrix - orthogonal?
(1 Antwort)


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Hallo, ich habe ein paar Probleme mit meinen Matheaufgaben:

Seien A und B orthogonale R^nXn Matritzen.
Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung:
a) Seien A,B orthogonale Matrizen. Ist AB dann ebenfalls orthogonal?
b) Seien A,B orthogonale Matrizen. Ist A + B dann ebenfalls orthogonal?
d) Sei A symmetrisch und durch x^T*A*x eine quadratische Form gegeben, sei weiter S orthogonal
und D = S^T*A*S eine Diagonalmatrix. Es gelte außerdem A^n = 0 für ein n ¤ N. Wie sieht die
durch D gegebene rein quadratische Form aus?

Überlegung zu a)
AB=C
--> muss orthonomiert zu einander sein:
AB(AB)^T= A(BB^T)A^T=AEA^T=AA^T= E

Zu b)
ich finde überhaupt keinen Ansatz. Ich denke, dass ich das wie bei a allgemein lösen muss

ZU D)
Die Bedingung A^n= 0 erfüllt doch nur die Nullmatrix
und wenn D = S^T*A*S muss D auch 0 sein.
Frage von psychopate (ehem. Mitglied) | am 08.06.2011 - 17:56


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102
Antwort von v_love | 09.06.2011 - 19:02
"AB=C
--> muss orthonomiert zu einander sein:"

nicht klar, was du meinst, vor allem brauchst du kein C definieren, wenn du´s sowieso nicht in deiner rechnung brauchst.

"AB(AB)^T= A(BB^T)A^T=AEA^T=AA^T= E"

ist aber ok.

"Zu b)
ich finde überhaupt keinen Ansatz.
Ich denke, dass ich das wie bei a allgemein lösen muss"

b) wähle A=B=1 (ist natürlich orthogonal) und rechne nach.

d)"Die Bedingung A^n= 0 erfüllt doch nur die Nullmatrix"

ist falsch, solche matrizen werden nilpotent genannt, und davon gibts eine ganze reihe (die nicht 0 sind), überlege dir dazu selber ein beispiel.

A=0 ist aber trotzdem richtig, denn sei n aus N so, dass A^n=0, dann D^n=0 (D^n kannst du einfach ausrechnen - als fkt. von A bzw. A^n), also D=0 (weil D diagonalmatrix)
(und damit muss auch A=0 sein)

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