Differenzierbarkeit einer Funktion bestimmen und Ableitung ?

Aufgabenstellung:
Die Funktion g:R->R sei definiert durch

g(x) ={x^2cos(1/x) falls x ungl.
0; 0 falls x = 0}

Zeigen Sie, dass g in jedem Punkt x€R differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.
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Ich habe im Buch eine Definition gefunden die besagt, dass eine Funktion f(x) in einem Punkt a einen endlichen Grenzwert besitzen muss, damit sie im Punkt a diffbar ist.

Ich habe mir zuerst cos(1/x) angeschaut denn wenn diese im Punkt x=0 einen endlichen Grenzwert besitzt so ist sie diffbar wenn nicht ist die Funktion nicht diffbar und die Aufgabe hätte sich erledigt oder nicht?

Wegen der Symmetrie Eigenschaft nähert sie sich für einen x-Wert zwar von beiden Seiten identisch doch wegen der Periodität springt die Funktion "hin und her" also besitzt sie keinen endlichen Grenzwert.
Dass sind aber meine Überlergungen wie ich, dass mathematisch am besten auf Blatt bekomme weiss ich nicht.


Jedoch steht da, dass ich zeigen soll das x€R in jedem Punkt differenzierbar ist, also muss meine Überlegung falsch sein.
Wie gehe ich da vor?