Ableitung ganzrationaler Funktionen

ähm also, ich setze mal in diese Fuktion: f(x)=x²+2x für x eins ein
und dann ist y 3

und jetzt mach das mit dem Differenzquotient;also in meinem Buch steht hierfür diese Formel:
f(x)-f(x0)/x-x0

und jetzt ist bei mir 1=x0, weil ich da oben für x eins gesetzt habe

dann: f´(x)= x²+2x-1/x-1

und dann löse ich das auf, und sehe dass da oben eine binomische formel ist, dann ist die ableitung (x+1)=2


ok das kann jetzt richtig sein, oder totaler quatsch, ich hab keine ahnung

oh scheiße, stimmt, ok dann mach ich das ganze mal mit 3

also:

f´(x)= x²+2x-3/x-3

und dann kommt bei der plynomdiviosn (x+6) und dann rest 15
aber das ist irgendwie komisch,

ich glaub ich mach das ohne zahlen einzusetzen, also ich meine es so:

f´(x)=(x²+2x)-(x0²+2x0)/x-x0

f´(x)=x[(x+2)-(x+2)]

f´(x)=x(wurzel von x +wurzel von 2)(wurel von x+ wurzel von 2)/x-x0


ok das ist alles komisch, ich mach es falsch

ja aber hä? ich versteh das nicht:

D(x,x0)=((x+x0)(x-x0)+2(x-x0))/(x-x0)=...

wie bist du da drauf gekommen

Differenzenquotient: (f(x)-f(x0))/(x-x0)

(x²+2x-x0²-2x0)/(x-x0)=(x+x0+2).(x-x0)/(x-x0)=(x+x0+2)

Differenzialquotient: lim (x+x0+2)=2x+2
x->x0

davon abgesehen, dass es nur im limes stimmt, solltest du feststellen, dass das ableiten linear (scheinbar) ist, d.h. sind g` und h` ableitung von g bzw. h (g+h)` ableitung von g+h, so ist (g+h)`=g`+h`.

ableitungen beschrieben dir momentane änderungen von irgendwelchen observablen.
du kannst dir also vorstellen, dass die dynamische entwicklung von systemen durch kombinationen von ableitungen gegeben sind. (sei es die klassische bwegungsgleichung in der mechanik, die wellengleichung bzw. die maxwell gleichungen in der E-dynamik, die kontinuitätsgleichung in der hydrodynamik, die schrödinger gleichung in der QM oder die dirac gleichung in der QFT, um mal ein paar beispiele aus der physik zu nennen. natürlich kannst du auch z.b. an räuber beute beziehungen denken)

für dich ist die ableitung vor allem bei extremwertberechnung nützlich. (da geht es eben um die fragestellung, wann eine größe extremal wird)

hier ist es die momentane änderung der höhe.

es soll tan(14°)=f`(x) gelten, dann bestimmst du x und die nullstelle der rampenfunktion (lineaere funktion mit steigung tan(14°) und die durch den berechneten punkt geht). dann kannst du mit pythagoras die länge der rampe bestimmen.

"ok ist tan(14°)=f`(x) dann die Ableitung?"

ja