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Konvergenz

Frage: Konvergenz
(10 Antworten)


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ch brauche mal wieder hilfe bei ner Aufgabe.

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen.


b) Summenzeichen hoch unendlich unten steht n=1 tan ( 1/n )

Muss ich hier auch das quotientenkriterium anwenden?
Frage von Jack21 (ehem. Mitglied) | am 02.01.2011 - 16:51

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 17:00
ne, scheint mir ungünstig zu sein.

majorantenkriterium ist hier wohl sinnvoller.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 19:54
Gegeben:
a(n)=tan(1/n)
Man betrachte a(n)=tan(1/n) und b(n)=1/n

Weiter: lim[a(n)]/[b(n)]=lim[tan(1/n)]/[(1/n)] und jetzt die Regel von L`Hospital anwenden, es folgt: 1>0
Da b(n) divergiert (harmonische Reihe), gilt dies auch für a(n).
Prüfen Sie das aber nach.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 21:43
L`Hospital
Hier müsste ich doch den Zähler einmal ableiten oder?

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 22:10
ja, müsstest tan und id ableiten.
allerdings empfehle ich dir x<=tan(x), 0<=x<=pi/2 anzuwenden, was anschaulich ganz klar ist (strahlensatz).
dann folgt die aussage ohne weieters aus majorantenkriterium.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 22:13
Was muss ich beim majorantenkriterium machen.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 22:15
du solltest eine günstige reihe finden, mit der du deine reihe vergleichen kannst.
eine passende reihe ist hier die harmonische reihe.
dann musst du eben 1/n und tan(1/n) vergleichen.
nach der genannten abschätzung ist eben tan(1/n)>=1/n, und du weißt, dass die harmonische reihe divergiert.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 22:31
tan(1/n)>=1/n
Was mache ich als nächstes?

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 22:34
wenn du das festgestellt hast, langt eine kurze anschließende begründung.
in der art "Also folgt die Divergenz aus Majorantenkriterium und Divergenz der Harmonischen Reihe"


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 22:36
Also muss ich nach diesem Schritt nichts mehr weiter machen, außer begründung

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 22:37
ja, das ist richtig.

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