Parallelen schneiden sich im Unendlichen - richtig o. falsch
Frage: Parallelen schneiden sich im Unendlichen - richtig o. falsch(41 Antworten)
Was meint ihr dazu, schneiden sich Parallelen im Unendlichen? |
Frage von passi96_ (ehem. Mitglied) | am 12.03.2010 - 20:09 |
Antwort von GAST | 12.03.2010 - 21:14 |
ne, |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 21:16 |
In welchem Sinne ist meine Aussage falsch? |
Antwort von GAST | 12.03.2010 - 21:18 |
"so ist die Länge der Orthogonalen zwischen den beiden parallelen Geraden immer gleich" hey passi, kannst ir des erklären? |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 21:20 |
in kurzform: der abstand von zwei parallelen geraden sind immer gleich |
Antwort von GAST | 12.03.2010 - 21:23 |
aso ja! deine aussage hab ich jetzt kapiert, aber was willst du jetzt damit sagen? |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 21:25 |
Zwei Geraden, die überall den gleichen Abstand haben, sind nicht in der Lage sich zu schneiden, auch nicht in der Unendlichkeit, da jeder Punkt genau bestimmbar ist. |
Antwort von GAST | 12.03.2010 - 21:28 |
ok deine argumentation hab ich jetzt kapiert, aber die von v_love nicht, ich mein "punkte in der unendlichkeit"? |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 21:30 |
ich finde es gibt keine Punkte in der Unendlichkeit, da jeder Punkt exakt mit Koordinaten zu bestimmen sind. ich hab` die auch nicht kapiert. |
Antwort von GAST | 12.03.2010 - 21:53 |
keine parallele schneidet sich das ist ein mythos - Mythbusters |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 22:00 |
wenn es von mathematikern aber angenommen wir, ist das wohl nicht so abwägig, aber meiner meinung nach aber auch völliger quatsch |
Antwort von rotzfreche_goere (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 22:03 |
falsch, parllelen schneiden sich nie! |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 12.03.2010 - 22:06 |
Soweit sind wir auch schon, hast du denn auch eine angemessene begründung, dass sie sich auch nicht in der unendlichkeit schneiden? |
Antwort von GAST | 13.03.2010 - 20:55 |
Ein Beweis, dass sich parallelen im unendlichen schneiden, ist eigentlich leicht und verständlich: "Euklid (ein alter Grieche ca. 300 v.Chr.) hat in seinem Buch "Die Elemente", die Grundlage der klassischen Geometrie (zumindest fuer die Ebenen) geschaffen. Dieses Buch ist streng logisch aufgebaut und versucht, wie alle guten Mathematikbuecher, bei einem Beweis nur Tatsachen zu verwenden, welche schon bekannt waren, weil sie schon bewiesen waren. Natuerlich hat das einen Haken. Es ist unmoeglich einen "ersten Satz" zu beweisen, da man ja keine Aussagen zur Verfuegung hat, aus denen man etwas folgern koennte. Deshalb beginnt das Buch mit sogenannten Axiomen. Das sind Aussagen, die ohne Beweis als richtig angesehen werden, auf denen dann die gesamte Theorie aufbaut. Eines dieser Axiome ist das Parallelen Axiom. Es lautet ungefaehr so: Sind in der Ebene eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf dieser Geraden liegt, gegeben, so existiert genau eine Gerade die durch P geht und g nicht schneidet. Geraden, die keinen Punkt gemeinsam haben (d.h. die sich nicht schneiden), nannte Euklid parallel. Viele Mathematiker fanden dieses Axiom jedoch als "unfein" und versuchten das Parallelenaxiom zu beweisen (mit Hilfe der anderen Axiome). Wenn man es beweisen koennte, so braeuchte man es nicht mehr als richtig vorauszusetzen. Allerdings ist den Mathematikern dieser Beweis nicht gelungen, und Gauss (1777-1855), also ca. 2000 Jahre nach Euklid, hat gezeigt, dass es unmoeglich ist, das Parallelenaxiom mit Hilfe der anderen Axiome zu beweisen. Sein Gedanke war recht einfach: Er hat die Axiome von Euklid genommen und das Parallelenaxiom durch ein anderes ersetzt (z.B. je 2 verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt). Danach zeigte er, dass die Axiome noch immer widerspruchsfrei (d.h. sich nicht gegenseitig wiedersprechen) sind, und dass man mit ihnen genauso gut Mathematik "machen" kann, wie mit den urspruenglichen Axiomen. Auf diese Weise gelangte Gauss zu den sogenannten "nicht - euklidischen Geometrien". Zunaechst galten diese als "abstrakte Hirngespenster", bis Albert Einstein "auftauchte" und bei seiner allgemeinen Relativitaetstheorie Nicht-Euklidische Geometrien benutzte. Das einfachste Beispiel einer Nicht-Euklidischen Geometrie ist die "projektive Ebene": Stell Dir einen ganz normalen 3-dimensionalen Raum mit einem Koordinatensystem x-y-z vor. Die Ebene E sei parallel zur xz-Ebene und schneide die y-Achse bei 1. Die Geraden die durch den Ursprung gehen bezeichnet man nun als Projektive Punkte (im Gegensatz zu den "normalen" Punkten des 3-dim. Raumes). Jeder projektive Punkt schneidet entweder die Ebene E oder liegt in der xz-Ebene. Andersrum kann man sagen, dass jeder Punkt der Ebene E genau einen projektiven Punkt representiert, naemlich die Gerade die durch diesen Punkt und den Ursprung geht. Fuer jede Punktmenge der Ebene E (z.B. Kreise, Strecken) gibt es also eine aequivalente Menge projektiver Punkte. Zusaetzlich gibt es noch die projektiven Punkte, die in der x-z-Ebene liegen. Diese nennt man unendlich ferne projektive Punkte oder auch kurz - Fernpunkte. Ein Fernpunkt ist also immer ein projektiver Punkt. Unter einer projektiven Geraden oder einer Geraden in der projektiven Ebene, versteht man eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die den Ursprung enthaelt. Oder ganz korrekt: Die Menge aller projektiven Punkte, die in einer solchen Ebene enthalten sind. Jede projektive Gerade - bis auf die x-z-Ebene, schneidet die Ebene E in einer Geraden. Ausserdem gilt: Jede projektive Gerade (ausser die x-z-Ebene) besteht aus (projektiven) Punkten, die von Punkten einer Geraden auf E erzeugt werden, und einem Fernpunkt. Die x-z-Ebene besteht genau aus allen Fernpunkten und wird deshalb Ferngerade genannt. Erklaert man auf diese Weise, was man unter einer Geraden und einem Punkt in der projektiven Ebene verstehen will, so erhaelt man eine neue Geometrie, die offensichtlich sehr aehnlich der Geometrie auf der Ebene E ist, nur dass sie noch zusaetzliche Fernpunkte enthaelt, die zusammen die Ferngerade bilden. Nimmt man nun zwei Geraden, die in der Ebene E liegen, dann schneiden sich diese in einem Punkt P oder sie sind parallel. Die entsprechenden Geraden der projektiven Ebene schneiden sich dann in dem projektiven Punkt der durch P representiert wird, oder, im Fall das beide Geraden in E parallel sind, in einem unendlich fernen Punkt (kurz: im unendlichen). Da jede projektive Gerade einen Fernpunkt besitzt, also auch die Ferngerade schneidet, gilt in dieser Geometrie: Zwei beliebige voneinander verschiedene Geraden haben (genau) einen gemeinsamen Punkt." |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 13.03.2010 - 21:06 |
Es geht hier momentan aber um die Euklid`sche Geometrie. |
Antwort von GAST | 13.03.2010 - 21:09 |
in der euklidschen geometrie können sich parallelen nicht schneiden, parallelen können sich (nur) in der projektiven Geometrie schneiden, wie beschrieben wurde meine meinung... eigentlich ist es nur geschmacksache.. |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 13.03.2010 - 21:15 |
Was sagst du dazu, dass Längengeradne parallel sind? |
Antwort von GAST | 13.03.2010 - 21:25 |
Längengeraden sind parallel zum Nullmeridian |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 13.03.2010 - 21:30 |
Sie sind zwar orthogonal zum Äquator, und damit parallel, schneiden sich aber in Nor-/Südpol, also eigentlich nicht mehr parallel. Mein Mathe-Lehrer, kein Doktor, sagt, dass es Parallelen sind, mein AG-Leiter und Ex-Klassenlehrer, Doktor der Mathematik, sagt, dass es echte parallele Geraden nur auf Flächen gibt und nicht auf Körpern. |
Antwort von GAST | 13.03.2010 - 21:36 |
hahahaha dass, parallele Geraden nur auf Flächen sind und nicht auf Körpern klingt logisch wie hat er des begründet? und wie begründet dein anderer Lehrer, das Gegenteil? |
Antwort von passi96_ (ehem. Mitglied) | 13.03.2010 - 21:39 |
mein jetztiger mathelehrer begründet, dass damit, dass zwei geraden, die orthogonal zu einer dritten linie stehen, parallel sind, der andere, sagt einfach, dass es keine echten parallelen sind, weil sie sich ja schneiden |
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