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Extremwertaufgabe: Halbkreis mit aufgesetztem Rechteck

Frage: Extremwertaufgabe: Halbkreis mit aufgesetztem Rechteck
(12 Antworten)

 
Wie muss ein Abwasserkanal, dessen Querschnittsfläche von der Form eines Halbkreises

mit aufgesetztem Rechteck ist gebaut werden, damit bei vorgegebener Querschnittsflläche A = 2 m² der Umfang minimal wird? Handelt es sich um eine realistische Fragestellung?

Ansatz:Rechteck 2b+a, wobei a gleich zwei mal Radius des halbkreises ist.

U= pi*r+2b+2r
A= 1/2 pi r²+2r*b =2

die nebenbedingung(A=..) müsste ich jetzt glaube ich nach b auflösen.. aber irgendwie bekomme ich das nicht so wirklich hin..

Kann mir jemand helfen?
Danke
GAST stellte diese Frage am 25.11.2009 - 14:26


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6		 Antwort von Franky1971 | 25.11.2009 - 14:43
könnte vielleicht so funktionieren:


Deine Formel für A nach b auflösen: b = (1/r) - (1/4)pi*r

b in Deine Formel für U einsetzen, ableiten nach r und f`(U) = 0 bilden


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Beiträge 613
6		 Antwort von Franky1971 | 25.11.2009 - 15:01
U = pi*r + 2*((1/r)-(1/4)pi*r) + 2r

U` = pi - (2/r²) - (1/2)pi + 2 = 0 das ganze *r²
r² * (pi - (1/2)pi + 2) - 2 = 0
r² = 2 / (pi - (1/2)pi + 2)
r² = 2 / ((1/2)pi + 2)

kann das sein?


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Beiträge 613
6		 Antwort von Franky1971 | 25.11.2009 - 15:13
ich hätte mit diesem Ansatz folgende Ergebnisse:
r = 0.748 m

r einsetzen in der Formel für b = ...
b = 0.7494 m

U = ...

 
 Antwort von GAST | 25.11.2009 - 16:42
Komme so jedenfalls auch zu einer lösung,
Für U habe ich = 5,35 und für a= 1,4968

hoffentlich ist es richtig...danke dir!


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Beiträge 613
6		 Antwort von Franky1971 | 26.11.2009 - 07:29
... was ist bei Dir a? Wenn es die Fläche (A) ist, dann würde ich sagen, Du hast das Ziel, die vorgegebene Fläche von 2m² zu erreichen, nicht geschafft, oder? ... schreib doch einfach mal auf, wie Du es gerechnet hast.


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Beiträge 6266
96		 Antwort von Double-T | 26.11.2009 - 14:14
Nun mal mit Weg...

U= pi*r+2b+2r
A= 1/2 pi r²+2r*b =2

Soweit ist es korrekt.

Du willst A = 2 nach b umstellen?

b = (2-pi*r²/2)/(2r) = 1/r - pi*r/4

dann in U einsetzen
U(r) = pi*r + 2/r - pi*r/2 + 2r = r*(pi/2 + 2) + 2/r
U`(r) = (pi/2+2) - 2/r²
U`(r) = 0 --> r² = 2/(pi/2 +2) => r = +- 0,748m (wobei die negative Lösung wegfällt.)
U``(0,748) = 6/r^3 > 0 --> Tiefpunkt

r = 0,748m
a = 2*r = 1,496m
b = 1/r - pi*r/4 = 0,7494m


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14		 Antwort von Cocus (ehem. Mitglied) | 01.03.2011 - 21:27
warum pi*r? ist das die formel um den umfang des kreises auszurechnen?

 
 Antwort von GAST | 01.03.2011 - 21:30
jo, ist der umfang des halbkreises.


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14		 Antwort von Kitt (ehem. Mitglied) | 29.02.2012 - 16:48
@ Double-T: Wie kommst du auf a = 2*r = 1,496m und b = 1/r - pi*r/4 = 0,7494m ? Für b kann man das ja einfach einsetzen, aber von wo kommt das a?


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 29.02.2012 - 16:54
aus der bedingung "U`(r) = (pi/2+2) - 2/r² "=0 erhält man r, damit auch a.

(ob die gleichungen alle stimmen, habe ich nicht kontrolliert)


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14		 Antwort von Kitt (ehem. Mitglied) | 29.02.2012 - 16:59
Wieso ist a denn 2*r?


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 29.02.2012 - 17:02
weil a nun mal hier so definiert wurde ...

" ... wobei a gleich zwei mal Radius des halbkreises ist."

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