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Kurvendiskussion gebrochen rationaler funktion

Frage: Kurvendiskussion gebrochen rationaler funktion
(32 Antworten)

 
Hallo

ich habe eine Kurvendiskussion gemacht.
Könntet ihr es evt.
kontrolieren und ggf. es berichtigen

Danke im Vorraus



f(x)=-2x^3/(x^2-9)

Definitionsbereich

D=R {+3;-3}

Smmetrie:

Es ist eine Punktsymmetrie erkennbar, da die Definitionslücke sowohl für +3 als auch -3 definiert ist.

Polstellen:

+3/-3 sind die Polstellen


x--> -3, x >-3 = f(x)-->-oo
x--> -3, x <-3 = f(x)--> +oo

x--> 3, x > 3 = f(x)-->-oo
x--> 3, x < 3 = f(x)--> +oo

Also ist x=3 eine Polstelle mit VZW. Aufgrund der Symmetrie und der Grenzwertbetrachtung ist -3 ebenfalls eine Polstelle mit VZW.

Gleichung der senkrechten Asymptoten : x=3; x=-3


Verhalten für x-->+oo und x--> -oo

Gleichung der schiefen asymptote: y=-2x


Nullstellen: N(0|0)


Ableitungen:

f´(x)=-2x^4+54x^2/(x^2-9)²
f´´(x)=-36x^3-972x/(x^2-9)³
f´´(x)=108x^4+5832x^2+8748/(x^2-9)^4


Extremstellen:

Hochpunkt (5,196|-15,55) Tiefpunkt (-5,196|15,55)


Wendestellen

W(0|0)



das wars.

Es wäre sehr nett, wenn ihr das kontrollieren würdet.
GAST stellte diese Frage am 25.10.2008 - 13:25

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:30
"Es ist eine Punktsymmetrie erkennbar, da die Definitionslücke sowohl für +3 als auch -3 definiert ist."


die begründung ist nicht ausreichend.

"Verhalten für x-->+oo und x--> -oo

Gleichung der schiefen asymptote: y=-2x"

hast du dafür eine rechnung?

"Hochpunkt (5,196|-15,55) Tiefpunkt (-5,196|15,55)"

du solltest keine "krummen zahlen" angeben. schreibe lieber x=wurzel aus ...

übrigens solltest du anstatt "stelle" lieber "punkt" sagen


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:32
also es gibt noch eine weitere nullstellen...
an (dritte wurzel aus -2/0)
;)


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:34
ja mit der symmetrie...solltest lieber schreiben -f(x)=f(-x)...is auch ein beweis für punktsymmetrie

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:35
"hast du dafür eine rechnung?"

ja, ich habe eine polynomdivision durchgeführt, also zählerfunktion durch nennerfunktion

"die begründung ist nicht ausreichend."

sollte ich lieber die symmetrie überprüfen mit

f(-x) = f(x) <=> Achsensymmetrie
f(-x) = -f(x) <=> Punktsymmetrie


"übrigens solltest du anstatt "stelle" lieber "punkt" sagen"

meins du die extremstellen oder polstellen oder wendestellen ?

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:36
wär mir neu, dass man wurzeln aus negativen zahlen ziehen darf

"ja, ich habe eine polynomdivision durchgeführt, also zählerfunktion durch nennerfunktion"

gut.

"meins du die extremstellen oder polstellen oder wendestellen ?"

ich meine nullstelle, extremstelle und wendestelle.

polstelle kannst du so stehen lassen.


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:37
wenn du stelle sagst meinst du eigentlich nur die stelle auf der x-achse, also zum beispiel bei wendestelle: x=0...also lieber wendepunkt

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:42
ok, reicht das zu einer vollständigen kurvendiskussion oder, muss ich zum beispiel monotonie oder konvexität etc. auch diskutieren


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:43
klar kann ich aus -2 die dritte wurzel ziehen...is nämlich rund -1,26 kannst ja mal nachprüfen;)...


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:45
ja du musst noch monotonie, krümmung und noch den Graph zeichnen^^

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:46
"klar kann ich aus -2 die dritte wurzel ziehen...is nämlich rund -1,26 kannst ja mal nachprüfen;)..."

ja klar kannst du das
dann kannst du mir sicherlich auch erklären, wo der fehler im folgenden beweis ist:

-1=(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=6te wurzel aus (-1)²=6te wurzel aus 1=1

tja, -1=1

zur vollständigen kurvendiksussion gehört noch eine skizze vom graphen dazu.
monotonie ergibt sich aus polstellen/grenzverhalten und extremstellen.


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 13:52
ja der Beweis stimmt schon , aber dennoch kann ich die wurzel aus negativen zahlen ziehn, wenn der wurzelexponent ungrade ist und das ergebnis stimmt und ist nich x=-x

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 13:56


alles klar. ab jetzt ist -1=1.

oh je, das sollte mal jemand einem mathematiker erzählen.

übrigens zeigt mir mathematica "non-defined term" an, wenn ich (-2)^(1/3) angebe. sowas aber auch.


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 14:06
:D
ja is komisch, mein Derive zeigt mir auch "false" an...kp warum=)
aber mein einfacher taschenrechner berechnet das ganz locker^^

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 17:22
wie mache ich dne die symmetrie da habe ich irgednwie meine schwieriegkeien


ich kenn die Bed. aber ich weiß nich wie
f(-x) = f(x) <=> Achsensymmetrie
f(-x) = -f(x) <=> Punktsymmetrie


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 17:41
pass auf: erst schreibst du f(x)=f(-x)
dann schreibst du für f(x)m den Term und für f(-x) auch, aber multipliziertst hier alle x-werte mit -1 (also dann kommt -x raus)
denn guckst du ob die gleichungen identisch sind (passiert nur, wenn du als exponenten der variable gerade zahlen hast, also 2,4,6...)..wenn jetz die gleichungen gleich sind ist es achsensymmetrie..wenn nicht schreibst du da hinter "falsche Aussage" oder "f.A." (is das gleiche)
dann schreibst du f(-x)=-f(x) schreibst wieder die gleichung auf die linke seite mit umgedrehten vorzeichen für x und auf die rechte seite setzt du f(x) in Klammern und schreibst ein minus davor...bei deiner gleichung trifft jetzt halt dieser fall zu...denn schreibst du nor noch dahinter "wahre Aussage" oder halt "w.A."
=)

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 17:49
"ja is komisch, mein Derive zeigt mir auch "false" an...kp warum=)"

tja, anscheinend kann man keine wurzeln aus negativen zahlen ziehen.

"aber mein einfacher taschenrechner berechnet das ganz locker^^"

schmeiß ihn weg

"denn guckst du ob die gleichungen identisch sind (passiert nur, wenn du als exponenten der variable gerade zahlen hast, also 2,4,6...)"

dann ist die funktion f(x)=x/x nicht achsensymmetrisch, weil die exponenten keine gerade zahlen sind, nicht?

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 17:49
-f(-x)=-(-2*(-x)³/[(-x)²-9])
=-2x^3/(x^2-9)
stimmt das


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 17:54
also du müsstest das für deine gleichung so schreiben:

f(-x) = -f(x)
f(x) = -f(-x)
-2x^3/(x^2-9) = -[-2(-x)^3/((-x)^2-9)] w.A.
---> die funktion f(x) ist punktsymmetrisch


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Antwort von Dschoardsch (ehem. Mitglied) | 25.10.2008 - 18:03
@love
die funktion f(x) = x/x ist sowohl achsensymmetrisch als auch punktsymmertrisch....aber ist auch egal, weil keiner die funktion so zeichnen würde, sondern erst weiter vereinfachen (f(x)=1)

 
Antwort von GAST | 25.10.2008 - 18:06
aber muss sich das minuszeichen im nenner nich ebenfalls ändern weil vor der klammer steht ja ein minus

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