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Differenzialgeometrie : Zeigt mal was ihr könnt =)

Frage: Differenzialgeometrie : Zeigt mal was ihr könnt =)
(26 Antworten)


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Hab Hausaufgaben auf, die ich nicht lösen kann, wäre schön wenn ihr mir helfen könntet dass ichs auch versteh =)

Die Parabeln mit den Gleichungen y=1-x² und y=x²-1 umranden eine Fläche.
In diese Fläche werden Rechtecke so einbeschrieben, dass ihre Ecken auf den Parabeln liegen und ihre Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Es gibt ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt. Berechnen Sie diesen Inhalt.
Frage von Slnbada (ehem. Mitglied) | am 22.11.2007 - 21:38

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 21:40
naja,dann
zeichne dir doch erstmal die parabeln und sehe welche sie einschließt


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Antwort von Slnbada (ehem. Mitglied) | 22.11.2007 - 21:53
Ja schon getan, bin auch schon weiter. Hab schon raus wie man das Rechteck ausrechnen kann.
f(x)=4x-4x^3

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 21:59
A(a,b)=a*b

mit a=2x (da parabel 1 die an der x-achse gepsilegelte parabel 1 ist) und b=f(x):

A(x)=2x*(-x²+1)=-2x³+2x
A`(x)=-6x²+2
A`(x)=0
-6x²+2=0<=>6x²=2<=>(1/3)^(1/2)=x

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:01
kleiner fehler, dürfte aber am ergebnis nichts ändern..habe die 2 vergessen bei A(x)..und somit auch A`(x)


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Antwort von Double-T | 22.11.2007 - 22:02
y=-x²+1 und y=x²-1
Es lässt sich direkt erkennen, dass die beiden Parabeln die gleichen Nullstellen und die "gleiche Krümmung" besitzen. Außerdem ist die Entfernung der Scheitelpunkte von der x-Achse vom Betrag her gleich.
Unterschiedlich ist vor allem die Orientierung. (Oben offen - unten offen)

Das sage ich, weil du dadurch nur eine Parabel zu betrachten brauchst, denn wenn du nun Maximum(A1) findest, muss Maximum(A) = 2*Maximum(A1) sein - salopp fomuliert. Schlicht, weil Maximum(A1) = Maximum(A2) sein muss.
Da sich der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse befindet, kann man auch darauf zurückgreifen, dass man nur den Teil von A1 betrachtet, der im 1.Sektor liegt. (Gleiche Begründung) Dann gilt:

A = 2*A1 = 4*x1*f(x1)

Optimiert werden soll das kleine Rechteck im 1.Sektor:
0,5*A1 = x*f(x)
f(x) = -x²+1
Die Nullstellen sind bei 1 und -1. Interessant für diesen Ansatz ist allerdings nur die 1, da sie zum 1.Sektor gehört. Es ist die Obergrenze für x.
0,5A1 = -x³+x
Suche nach dem Hochpunkt:
[0,5A1]` = -3x²+1 = 0
x1 = (1/3)^(1/2)
//Ich verzichte mal auf die hinreichende Bed.

A = 4*[-(1/3)^(3/2) + (1/3)^(1/2)]
= 3,849...

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:08
da stimmt was nicht...

A=4*(1/3)^(1/2)*2/3 sollte das ergebnis sein


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Antwort von Double-T | 22.11.2007 - 22:19
Sorry, ich kann den Fehler nicht ausmachen, weißt du, wo er liegt?

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:29
ja, du hast die zahlen falsch eingetippt.

außerdem ist das: 4*[-(1/3)^(3/2) + (1/3)^(1/2)]
viel zu kompliziert.


du hast etwas "ungünstig" gerechnet, wenn ich das mal so sagen darf

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:36
nein nein nein, pi = 3,14!

daher leitet sich x * y / wurzel 5^3 ab.

der determinant hieraus ist die summer der vektoren in der parabel der matrizen!

so und nicht anders!


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Antwort von Double-T | 22.11.2007 - 22:37
Das verdammte "-" war an der falschen Stelle, Danke.
"viel zu kompliziert" ist relativ, da es sich nur noch ums einsetzen handelte. Unfähig zu sein, den Taschenrechner zu bedienen, ist allerdings peinlich.

Zitat:
wenn ich das mal so sagen darf

Jep, darfst du. ^^

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:39
@luftanhalter
das hast du schön gesagt

Zitat:
Unfähig zu sein, den Taschenrechner zu bedienen, ist allerdings peinlich.

Hauptsache man weiss wie man das rechnet

 
Antwort von GAST | 22.11.2007 - 22:49
"nein nein nein, pi = 3,14!

daher leitet sich x * y / wurzel 5^3 ab.

der determinant hieraus ist die summer der vektoren in der parabel der matrizen!

so und nicht anders!"



sowas geiles habe ich in meinem leben, glaube ich, noch nie gelesen.
1.pi=3,14 ist eine falsche aussage
2.die logik lässt zu wünschen übrig
3.was ist ein determinant? in deutsch heißt das determinante, oder?
4.was ist eine parabel der matrizen?
5. summe von vektoren ist auch ein vektor. die determinante ist aber eine zahl.
6. du erinnerst mich an jacky


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Antwort von Slnbada (ehem. Mitglied) | 23.11.2007 - 16:53
Wah keinen Streit hier.
Also das mit den vektoren hab ich noch nie gehört und passt auch nicht zu diesem Thema.
Wenn jemand noch die einfachste Lösung haben will schreib ich sie hier rein. *jetzt zu faul is die Blätter rauszukramen wenns eh keiner hören will*

 
Antwort von GAST | 23.11.2007 - 18:55
dann schreib sie mal rein..glaube nicht, dass sie (merkbar) einfacher als double-t´s lösung ist


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Antwort von Peter | 23.11.2007 - 19:07
vagner, du hast einfach keine ahnung...
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Antwort von GAST | 23.11.2007 - 19:13
dann poste mal eine 3 zeilige lösung, die für jeden "normalen" 12-klässler nachvollziehbar ist

 
Antwort von GAST | 23.11.2007 - 19:15
3 Zeilen ist doch kein problem. Geht sogar vllt 2 Zeilig

 
Antwort von GAST | 23.11.2007 - 19:21
dann zeig mal was du kannst..
habe ich schon geschrieben, dass die zeile maximal 33 zeichen umfassen darf?

 
Antwort von GAST | 23.11.2007 - 19:29
achso 33. Dann passt es sogar in 1 Zeile


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Antwort von Slnbada (ehem. Mitglied) | 23.11.2007 - 20:00
Aaaaalso ihr Lieben,
Ich machs ganz leicht bevor ihr euch noch hier die Köpfe einschlagt =D

Wenn ihr euch das Rechteck betrachtet (Skizze!)
kriegt ihr folgende Gleichung raus: (!A vom Rechteck = a*b!)
[Das ist der schwerste Part]
x * (1-x²)
2x * (2-2x²)
4x-4x³

Soo als nächsten Schritt kommt die Ableitung
f`(x)=4-12x²
Wenn man diese nach x auflöst kommt folgendes Ergebnis raus:
x=wurzel 4/12 ca.= 0,577

Diesen Wert setzen wir jetzt einfach in unsere gefundene Gleichung einstzen und erhalten dann dieses Ergebnis:
8/9 * wurzel3 (ca. 1,54)
Und dies ist unser absolutes Maximum.

Fertüch!

Ja das Schwerste is echt die Gleichung zu finden,...

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