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schnittpunkte von Graphen

Frage: schnittpunkte von Graphen
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Ein Kinobetreiber möchte den Preis für die Eintrittskarten eines neuen Films festlegen. Er überlegt, dass keine Besucher kommen, wenn der Preis zu hoch ist und die Einnahmen zu niedrig sind, wenn der Preis zu gering ist.

Durch eine Umfrage ermittelt er, wie viele Besucher bei verschiedenen Preisen jeweils zu einer Vorstellung kommen würden. Die gerundeten Werte stellt er in einer Tabelle zusammen.
Preis x in Euro |8 |9| 10| 11| 12|13 |
Anzahl der Besucher y |260| 240|220 |200| 180 |160 |
a) Stelle eine Gleichung auf mit der man die Anzahl der Besucher aus dem Preis x berechnen kann.
b) Berechne die Einnahmen die der Kinobetreiber pro Vorstellung für die verschiedenen Preise zu erwarten hat.
Frage von taraelisa | am 09.10.2020 - 14:17


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Antwort von matata | 09.10.2020 - 14:46
Warum kannst du die Aufgabe nicht selber lösen? Was verstehst du nicht? Was muss man dir erklären? Hier kann man nämlich nicht einfach seine Aufgaben abgeben,
und ein netter Mensch löst sie dann. Um dir wirklich zu helfen, müssen wir wissen, wo es bei dir hakt, wie du es versucht hast, mit welchen Formeln du arbeiten willst....
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Antwort von MathMad | 11.10.2020 - 07:10
Aber nur, weil ich gerade Lust darauf habe:

a)
An den Werten kann man erkennen, dass es eine fallende Funktion 1. Gerades ist.

Daher:

f(x) = ax + b

Nun das erste Dupel (8, 260) einsetzen:

f(8) = 8a + b = 260 <=> b = 260 - 8a => f(x) = ax + 260 - 8a = (x-8)a + 260

Nun das zweite Dupel (9,240) einsetzen:

f(9) = (9-8)a + 260 = 240 <=> a + 260 = 240 <=> a = -20 => f(x) = -20x + 160 + 260 = -20x + 420

Zur Probe hier das dritte Dupel (10,220) einsetzen:

f(10) = -20 * 10 + 420 = -200 + 420 = 220 => Stimmt
Nun kann man auch noch die übrigen Dupel einsetzen, dies führe ich hier aber nicht weiter aus.

=> f(x) = -20x + 420 ist die gesuchte Gleichung.

b)
Die Einnahmen berechnen sich aus der Anzahl der Besucher mal des Preises. Daher einfach die beiden zusammengehörigen Werte multiplizieren. Dies führe ich hier auch nicht aus.

Die eigentlich Frage, die sich der Kinobetreiber stellt ist: Wie hoch ist der ideale Preis?

Die Anzahl der Besucher kann man aus der unter a) erstellen Funktion berechnen. Daher kann man die Einnahmen des Kinobetreibers wie folgt berechnen:

f(x) * x = g(x) = (-20x + 420) * x = -20x² + 420x

Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel. Diese hat ein Maximum (der gesuchte Preis mit den maximalen Einnahmen).

Das Maximum kann man mittels der ersten Ableitung (entspricht der Steigung der Funktion in jedem Punkt) berechnen:

g’(x) = -40x + 420

Dazu muss man die erste Ableitung = 0 setzen (Steigung = 0 bedeutet Maximum oder Minimum - da wir eine nach unten geöffnete Parabel haben, ist es ein Maximum) und auflösen:

g’(x) = -40x + 420 = 0 <=> 40x = 420 <=> x = 420/40 <=> x = 42/4 <=> x = 21/2 <=> x = 10,5

Nun x = 10,5 in f(x) einsetzen:

f(10,5) = -210 + 420 = 210

Nun g(10,5) = 210 * 10,5 = 2205

Das bedeutet, dass 210 Kinobesucher bei einem Preis von 10,50 € in das Kino kommen und der Kinobesitzer damit die Maximal möglichen Einnahmen von 2205 € erzielt.

Ich glaube, dass war nun ausführlich genug!

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