Extremwertaufgaben - Beispiel Zylinder

Bei Extremwertaufgaben muss man zunächst immer danach schauen, was maximiert oder minimiert werden soll.
→In diesem Fall ist es die Oberfläche, die so klein sein soll wie möglich.
Wenn das geklärt ist, muss eine Formel für die Oberfläche aufgestellt werden.
Am besten legst du dafür eine Skizze an.
→In diesem Fall besteht der Körper aus 3 Flächen, wie man in einer Skizze sehen kann. Falls du es brauchst, kann ich die Skizze noch für dich machen und hochladen.

• Die erste Fläche ist die Grundfläche des Zylinders, also die, die sich auf der Unterseite befindet. Diese ist ein Kreis mit dem gleichen Radius wie der Zylinder selbst. Da für den Radius nichts vorgegeben ist, benutzt du einfach den Buchstaben r. Die Fläche eines Kreises (findet sich in eigentlich jeder Formelsammlung/Wikipedia) beträgt  π·r².
• Die zweite Fläche ist die Mantelfläche des Zylinders. Diese ist, aufgerollt, ein Rechteck, dessen eine Seitenlänge die Höhe des Zylinders ist, für die du den Buchstaben h festlegst, und dessen andere Seitenlänge dem Umfang des Kreises entspricht. Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch 2·π·r. Also ist die zweite Fläche h·2·π·r.
• Die dritte Fläche ist die Mantelfläche des Kegels. Nach Wikipedia beträgt diese π·r·s, wobei s die sogenannte Mantellinie des Kegels ist. Das ist die Länge von der Spitze des Kegels bis nach unten. Glücklicherweise steht auf Wikipedia auch die Formel für die Mantellänge: .
  Für h kannst du einsetzen, denn die Höhe ist ja 4/3 des Radius:.
  Wenn du die Klammer ausrechnet, kommst du auf .
  Das kannst du zusammenfassen zu , und sogar die Wurzel ausrechnen und erhältst .
  
  Schließlich hast du also als dritte Fläche π·r·5/3·r=5/3·π·r²

Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Summe der drei Einzelflächen: O = π·r²+2·h·π·r+5/3·π·r².
Ein weiterer wichtiger Schritt bei Extremwertaufgaben ist, Abhängigkeiten zwischen den verschiedenen Größen zu formulieren. Das Ziel ist es, eine Formel für den zu maximierenden Wert zu erhalten, in der nur eine veränderbare Größe ist. In der Formel oben gibt es zwei veränderbare Größen: h und r. Um nur noch eine zu haben, musst du herausfinden, wie du h mit r beschreiben kannst.
→Dies machst du hier über die Bedingung mit dem Volumen. Das Volumen des Behälters beträgt 6π. Jetzt brauchst du nur noch eine Formel für das Volumen, in der h und r vorkommen. Der Behälter besteht aus zwei Teilen, die Einzelvolumina berechnest du zuerst:

• Das erste Volumen ist das Zylindervolumen, es beträgt laut Formelsammlung π·r²·h.
• Das zweite Volumen ist das Kegelvolumen, es beträgt laut Formelsammlung . h ist hierbei wieder 4/3 r. Nach dem Ersetzen erhältst du .

Addierst du die beiden, erhältst du .
Jetzt setzt du diese Formel gleich 6π und stellst sie nach h um. Raus kommt (ich wiederhole nicht alle Schritte, bei Bedarf kann ich das aber noch nachträglich machen):
Jetzt musst du diese Bedingung für h in die obige Formel für die Gesamtoberfläche einsetzen. Du erhältst die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius: .
Jetzt hast du schon den größten Teil geschafft. Du musst jetzt nur noch die Stelle finden, an der diese Funktion einen Extremwert hat. So wie ich es kenne, sind solche Aufgaben mit einem Taschenrechner zu lösen, der oft eine Funktion hat, mit der man diesen Wert anzeigen kann. Wenn du mir sagst, welches Taschenrechnermodell du verwendest, kann ich dir vielleicht helfen, diese zu finden.
→Bei mir ist der Minimalwert bei r=37,7 und O = 1,5. Da in der Aufgabe gefordert ist, alle Maße zu liefern, müssen diese noch berechnet werden.

• Ausdrücklich gefordert ist die Oberfläche, die wir auf 1.5 bestimmt haben.
• Ein weiterer bereits berechneter Wert ist der Radius von 37,7.
• Die Höhe des Kegels lässt sich angeben, da die Höhe des Kegels 4/3 des Radius betragen soll, also etwa 50,27.

Ich hoffe, du hast meine Anleitung verstanden.
Gruß,
Florian