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Schule > Mathematik > Analysis > L'Hospitalsche Regel + Beispiel

L'hospitalsche Regeln zur Grenzwertbestimmung

Die L'hospitalschen Regeln kommen bei Funktionen zum Zug, bei denen der Grenzwert nicht eindeutig bestimmbar ist, weil er z.B. '/' oder 0/0 beträgt oder er durch Einsetzen des Wertes nicht berechenbar ist, weil z.B. eine Division durch 0 auftritt.
In diesem Fall kann für g(x) und h(x) auf eine höhere Ableitung eingesetzt werden.
Beispiel aus der Ökonomie
Berechnung der Zusammenhänge zwischen Kosten, Umsatz und Gewinn.
      x sei die produzierte Menge
      Kosten:               k(x) = a + b*x          (a= Fixkosten; b= Herstellungskosten pro Mengeneinheit)
      Umsatz:               u(x) = p * x               (p= Preis pro Stück)
      Gewinn:        g(x) = u(x) – k(x)      (Gewinn = Umsatz – Kosten)
      Preisfunktion:       p(x) = c/(x+d)           (c,d sind konstant und >0

Berechnung der Abhängigkeit des Preises von der Menge:
p'(x) = -c/(x+d)2
p''(x) = 2c/(x+d)3
Da x,c und d stets größer als 0 sind, gilt: p'(x)<0 p(x) ist monoton fallend, d.h. mit steigender Menge sinkt der Preis.
Die Funktionswerte von p''(x) sind stets größer als 0. Da die Funktion p'(x) mit größerem x ansteigt ist somit eine konvexe Form der Funktion festgelegt.
Der Grenzwert der Funktion p(x) für x ' ist 0, d.h. mit steigender Produktion geht der Preis auf 0 zu. Somit verläuft der Graph wie der abfallende konvexe Graph im Abschnitt Krümmung.

Berechnung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Menge:
u(x) = p x; p(x) = c/(x+d) u(x)=c*x/(x+d)
u'(x) = c*d/(x+d)2
u''(x) = -2*cd/(x+d)3
Da u'(x)>0 ist diese Funktion monoton steigend, d.h. der Umsatz steigt mit dem Absatz. Da u''(x)<0 ist die Funktion konkav.

Berechnung des Grenzwertes:
Aus dem Grenzwert lässt sich schlussfolgern, da bei einer Erhöhung der Produktion gegen unendlich der Umsatz sich einem festen Punkt c nähern würde, ohne ihn zu überschreiten.
Die Gewinnfunktion lässt sich nun wie folgt aufstellen: g(x)=(c*x)/(d+x) – a – b*x
g'(x) = c*d/(x+d)2 – b
g''(x) = 2cd/(x+d)3
Bei der Berechnung der Extremstellen ergibt sich ein Maximum für den Gewinn bei x=sqrt(c*d/b)-d              (sqrt=Quadratwurzel)

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