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Ableiten und Aufleiten von Funktionen

Frage: Ableiten und Aufleiten von Funktionen
(24 Antworten)

 
Kann mir das nochmal jemand an ein paar Bsp. erklären. Bei mir kommt da jedesmla etwas Sinnloses raus. Was mache ich verkehrt?


1.f(x)=sin(x-(pi/4))
f`(x)=cos(x-(pi/4))
f``(x)=-sin(x-(pi/4))

aber orgendwie kann das nicht sein, da ich ja die innere und äußere Funktion ableiten muss

2.f(x)=(cos(2x))^2
f`(x)=4sin(2x)
f``(x)=8cos(2x)

3. aufleiten
f(x)=x+(1/x^2)
F(x)=x^2+((x)/(2/3x^3))

4.f(x)=(x^4+1)/x
F(x)=(1/5x^5+(x))/x^2
ANONYM stellte diese Frage am 02.03.2013 - 20:42


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 21:13
Du hast die Lösungen stehen, weisst aber nicht, wie man darauf kommt? Ich gehe hierbei nur an die erste Ableitung ran, die zweite `` ist identisch.

1.Kettenregel

f(x) = u(v(x)) ( u = sin ; v(x) = x-pi/4 = )

Für deren Ableitung gilt: f`(x) = u`(v(x))*v`(x)

sin(x-(pi/4)) --> f`(x) = u`(v(x))*v`(x)

u`(v(x) = sin`(x-pi/4) --> Nun ableiten:

sin(x) = cos(x)

Somit: cos(x-pi/4) für u`(v(x)).
Jetzt fehlt aber noch v`(x), d.h cos(x-pi/4) * die innere Ableitung, in diesem Fall ist es (x) und x abgeleitet = 1.

Lösung: cos(x-pi/4) * 1 = cos(x-pi/4)

2. Äußere * innere Ableitung ( mehrfach verkette Funktion ( ^2 und cos(2x) )

(cos(2x))^2

= 2 cos(2x) * d/dx (cos(2x))

= - 2* sin(2x) *d/dx (2x) * cos(2x) = -4cos(2x)*sin(2x)

Die Ableitung, die du hast, ist falsch.

Wo liegt das Problem bei 3 und 4?

 
Antwort von ANONYM | 02.03.2013 - 21:15
Ne, ich hab keine Lösungen dastehen, hab ich selbst ausgerechnet aus dem was ich verstanden habe im Unterricht. Stimmen die Lösungen etwa?

 
Antwort von ANONYM | 02.03.2013 - 21:29
Sorry ich versteh das nicht, was du hier erklärt hast
Also ich hab gerechnet:

1.f(x)=sin(x-(pi/4))
innere Funkt. x-(pi/4) --- 1-0
äußere Funkt. sin(u) --- cos(u)
das ganze jetzt irgendwie mit der Kettenregel zusammenmultipliziert ergibt:
f`(x)=cos *(x-(pi/4))* 1*x-(pi/4)

?


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 21:31
1. ist richtig, sowohl f` als auch f``.

2. f` ist falsch, du hast die innere vergessen abzuleiten ( cos(2x) ) siehe mein Beitrag oben und daher ist f`` auch falsch.

3. x integriert = x^2/2 ; 1/x^2 integriert = -1/x

= x^2/2 - 1/x +c

Weisst du, wie man integriert? Ich weiss nicht, wie weit ihr seid, von daher frage, wenn etwas unklar ist.

4. Muss man mit ln (x) lösen, warum?

(x^4+1)/x ist nichts Anderes wie: x^4/x + 1/x und 1/x integriert ist ln(x), somit brauchst du nur noch x^4/x integrieren und + ln(x) nehmen, also x^4/4 +ln(x) +c


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 21:41
Irgendwie? Mit irgendwie kommst du nicht weit, es gibt Formeln, die man verwenden muss, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.

f(x) = u(v(x)) ( u = sin(v(x)) ; v(x) = x-pi/4 ) Für deren Ableitung gilt: f`(x) = u`(v(x))*v`(x)

u`(v(x)) = cos(v(x)) und v(x) = x-pi/2 --> cos ( x-pi/4 ) * v`(x)

v`(x) = (x-pi/49)` = 1

Jetzt haben wir u`(v(x))*v`(x) = cos ( x-pi/4 ) * 1

Oben hast du das richtige Ergebnis, hier hast du dich vertan, weil du unorientiert rangehst und alles miteinander vermischst.

 
Antwort von ANONYM | 02.03.2013 - 21:42
Zitat:
3. x integriert = x^2/2 ; 1/x^2 integriert = -1/x = x^2/2 - 1/x +c


Wieso wird 1/x^2 weniger im Exponten. Ich dachte der Exponent muss sich beim aufeiten/integrieren immer um eins erhöhen?


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 21:45
1/x^2 um es integrieren zu können/wollen, vereinfacht man es:

Aus 1/x^2 wird x^(-2), weil man den Nenner hochholt. Nachdem man es oben hat, leitet man auf.

x^(-2) --> Exponent erhöht sich um 1 =x^(-1), denn ( -2 + 1 = -1 ) und das ist nichts Anderes als 1/x. Denn wenn man x^-(etwas) in den Nenner zurückbringt, wird es wieder positiv, also von x^-1 --> 1/x

Vielleicht erkläre ich es auch einfach umständlich.

 
Antwort von ANONYM | 02.03.2013 - 22:11
Nee, du erklärst sicher nicht zu umständlich, liegt sicher an mir. Habe mich jetzt an den nächsten Aufgaben probiert, aber ich glaube, dass ist immernoch nicht ganz richtig. Kannst du mir bitte weiterhelfen. Danke

f(x)=(x^6+2x^5+4)/x^6
Kann ich jetzt hier die x^6 wegkürzen, so dass ich dann bloß noch stehen habe:
f(x)=2x^5+4
F(x)=10x^6+4x ?

Und das mit dem Nenner hochholen habe ich auch noch nicht verstanden. Wie mache ich das hier?
f(x)=10*((x^4-1)/x^3) ?

 
Antwort von ANONYM | 02.03.2013 - 22:31
zur Aufgabe 2. von meinem Erstbeitrag noch mal.
f(x)=(cos(2x))^2

Zitat:
2. Äußere * innere Ableitung ( mehrfach verkette Funktion ( ^2 und cos(2x) )

(cos(2x))^2

= 2 cos(2x) * d/dx (cos(2x))

= - 2* sin(2x) *d/dx (2x) * cos(2x) = -4cos(2x)*sin(2x)

Die Ableitung, die du hast, ist falsch.


Kann ich hier nicht auch sagen:
f(x)=(cos(2x))^2
f(x)= cos(2x)*cos(2x) ?
Und wenn ich das dann ableiten kommt doch:
f`(x)= -2sin(2x)*-2sin(2x)
raus oder nicht?


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 22:34
Nein kannst du nicht, es gibt einen Spruch: Summen kürzen nur die dummen, ist eine gute Merkregel.

Du hast dort lauter Summen, x^6 bezieht sich nicht nur auf x^6 im Zähler, sondern auch auf 2x^5 und 4, es hätte auch stehen können:

x^6 / x^6 + 2x^5/x^6 + 4/x^6 das ist genau das gleiche, um es natürlich schöner zu machen, teilt man alle Summen durch einen einzigen Nenner, der sich jedoch auf alle im Zähler befindenden Terme auswirkt!

Du hast hier ein Quotient, also verwendet man die Quotientenregel und das setzt man nur ein wenn vorhanden: u(x) / v(x)

Du hast also sowohl im Zähler, auch auch im Nenner (x) --> Quotientenregel:

y` = u`(x)*v(x) - v`(x)*u(x) / v(x)^2

u = Zähler u(x) = (x^6+2x^5+4)
v = Nenner v(x) = x^6

Jetzt ganz einfach nach der Regel rangehen.

Zähler: u = (x^6+2x^5+4), da es eine Sumem ist, kann man alle einzelnd ableiten.

6x^5+10x^4 * v(x) = 6x^5+10x^4 * (x^6) - v`(x)*u(x)

wobei v(x) = x^6, abgeleitet = 6x^5 * u(x) = 6x^5 * (x^6+2x^5+4)

Jetzt haben wir:

u`(x)*v(x) - v`(x)*u(x)

Da es aber ein Quotient ist, fehlt natürlich noch v(x)^2, also (x^6)^2

Komplett aufgeschrieben: (6x^5 + 10x^4)*(x^6) - (6x^5 * (x^6+2x^5+4)) / (x^6)^2

Das kann man natürlich noch vereinfachen, aber ich belasse es erstmal dabei.


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Antwort von Senkura (ehem. Mitglied) | 02.03.2013 - 22:48
Zitat:
Kann ich hier nicht auch sagen:
f(x)=(cos(2x))^2
f(x)= cos(2x)*cos(2x) ?


Natürlich kannst du das machen, wenn es dir einfacher fällt, dennoch hast du es falsch abgeleitet.

Wenn man stehen hat: cos(2x)*cos(2x), so setzt man die Produktregel ein --> u(x) * v(x)

Du kannst nicht einfach nach beleiben ableiten, dazu gibt es ja eben diese Regeln. Du hast du es so abgeleitet, als wäre es eine Summe ( + ), doch es ist doch ein Produkt aus 2 Termen, die miteinander multipliziert werden, nicht summiert!

Produktregel:

u`*v + v`*u

u und v sind hier gleich, da wir 2 cos(2x) haben:

cos(2x) abgeleitet ist ( äußere mal innere ) --> -sin(2x) * 2

Innere ist 2x, agbeleitet ist es 2 und so macht man es dann ganz und kommt auf:

-2sin(2x)*cos(x) - 2sin(2x)*cos(2x)

und das ist nichts anderes als -4sin(2x)*cos(2x), das Ergebnis ist somit identisch!

 
Antwort von ANONYM | 03.03.2013 - 08:40
Danke dir. Ein wenig Licht ist schon ins dunkle gekommen. Hilfst du mir dann bitte weiter.

1.f(x)=(x^6+2x^5+4)/x^6
=(6x^5 + 10x^4)*(x^6) - (6x^5 * (x^6+2x^5+4)) / (x^6)^2
Und wie kann ich das jetzt weiter vereinfachen? So?
=6x^5 + 10x^4-((6x^5 * (x^6+2x^5+4)) / (x^6))
Wie kann ich diesen Term weiter vereinfachen?
6x^5 * (x^6+2x^5+4) / (x^6) ?
Obwohl ich eigentlich bei dieser Aufgabe aufleiten will (Stammfunktion bestimmen)
F(x)=(1/7x^7+12x^6+4x)/(1/7x^7) ?
Wie kann ich das jetzt weiter vereinfachen? Wahrscheinlich muss ich aber erst noch die Quotientenregel anwenden?


2. f(x)=(cos(2x))^2
f`(x)=-4sin(2x)*cos(2x)
Bei f``(x) müsste ich jetzt auch wieder die Produktregel anwenden oder?
u= -sin(u) --> u`= -4cos(u)
v= cos(v) --> v`= -sin(v)
innerre Ableitung: 2x --> 2
f``(x)= -8cos(2x)*cos(v) - 8sin(2x)*sin(2x)?
wenn richtig, wie vereinfache ich das jetzt wieder?

3. f(x)=10*((x^4-1)/x^3)
das wäre doch aber das Gleiche wie:
f(x)=(10x^4-10)/10x^3
und wenn ich das jetzt so habe, dann muss ich ja wieder die Quotientenregel anwenden oder?
u=10x^4-10 --> u`=40x^3
v=10x^3 --> v`=30x^2
f`(x)=(40x^3*10x^3 - 10x^4-10*30x^2)/(10x^3)^2
Ist das richtig so? Und wenn ja, wie vereinfache ich es?
aber ich will ja bei dieser Aufgabe nicht ableiten, sondern aufleiten. Wie mache ich das dann hier?


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Antwort von 71388 (ehem. Mitglied) | 03.03.2013 - 12:27
Also nach meinem Wissen ist die erste richtig

Die Zweite:

f(x)=(cos(2x))^2
f`(x)=4sin(2x)*cos(2x)
f``(x)=8(cos(2x))^2 - 8(sin(2x))^2

Die Dritte:

f(x)=x+(1/x^2)
F(x)=(((x^2)/2)-(1/x)+C

Die Vierte:

4.f(x)=(x^4+1)/x
F(x)=1/(x^2*((5*x^5)+x))

 
Antwort von ANONYM | 03.03.2013 - 14:08
Ich glaub jetzt hab ich das so einigermaßen verstanden mit dem auf- und ableiten. An dieser einen Aufgabe klemmt es aber noch etwas.

f(x)=10(x^4-1/x^3)
u=x^4-1 ----- u`= 1/5x^5-x
v=x^3 ----- v`= 1/4x^4
F(x)= ?

Kann mir das jemand nochmal ausführlich erklären. Bitte.


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Antwort von shiZZle | 03.03.2013 - 17:46
f(x)=10(x^4-1/x^3) = 10*x - 10/x^3

Das lässt sich sehr leicht Integrieren und differenzieren.

 
Antwort von ANONYM | 03.03.2013 - 17:57
Zitat:
f(x)=10(x^4-1/x^3) = 10*x - 10/x^3


Wie kommst du darauf?
Für mich ist
f(x)=10(x^4-1/x^3) =(10x^4-10)/10x^3 ?


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Antwort von shiZZle | 03.03.2013 - 18:01
Indem du mal den Zähler trennst und dann kürzt.

 
Antwort von ANONYM | 03.03.2013 - 18:23
Hilfe, wie Zähler trennen und integrieren?
Kannst du es mir vielleicht mal aufschreiben, deine Rechenschritte.


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Antwort von shiZZle | 03.03.2013 - 18:27
Beispiel: (x+1)/3 = x/3 + 1/3

Mehr habe ich nicht angewendet

 
Antwort von ANONYM | 03.03.2013 - 18:34
ja, aber dann würde doch bei mir
f(x)=10(x^4-1/x^3)
=(10x^4/10^3)-10/10x^3
=10x-1x^3 ?

Jetzt habe bestimmt wieder einen Fehler für "Dumme" beim zusammenfassen gemacht oder?

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