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Stammfunktion von Wurzel(a+x²)

Frage: Stammfunktion von Wurzel(a+x²)
(5 Antworten)


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Hallo,

ich muss das Integral von Wurzel(a+x²) nach dx bestimmen.

Wie es mit Wurzel (a-x²) nach dx funktioniert weiß ich:
Man müsste x mit sin(u) substituieren, danach die partielle Integration anwenden und schließlich resubstituieren.


Bei diesem Fall ist es auch einfacher eine Substitution auszuführen, denn:

sqrt(a-x²) ---> wenn man für x = sin u einsetzt, dann kommt man auf den trigonometrischen Pythagoras.

Aber bei Wurzel(a+x²) habe ich einfach keine Ahnung wie ich anfangen soll! Wenn ich für x sin(u) einsetze habe ich dann:

Integral (Wurzel(a+sin²(u))*cos(u)du

Kann mir bitte jemand helfen? Ich verzweifle an dieser Aufgabe !
Frage von Flarewing (ehem. Mitglied) | am 19.01.2013 - 16:51


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20		 Antwort von shiZZle | 19.01.2013 - 18:11
Das ist nicht ganz so einfach.
Ist das wirklich die komplette Aufgabe?


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13		 Antwort von Flarewing (ehem. Mitglied) | 19.01.2013 - 21:06
Tut mir leid, kleiner Fehler: Ich sollte die Stammfunktion ableiten!


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 20.01.2013 - 09:02
Zitat:
Ich sollte die Stammfunktion ableiten!

Die Stammfunktion deiner Funktion f(x) = sqrt(a+x²) sollst du ableiten?
Dir ist schon klar, dass das entweder
a) sinnlos,
b) nicht wirklich die Aufgabe oder
c) eine "Scherzaufgabe"
ist, da die Stammfunktion ja gerade die Funktion ist, deren Ableitung wiederum f(x) ist.

Die Stammfunktion kann man schnell mit wolframalpha berechnen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%28a%2Bx%C2%B2%29

wenn man sich anmeldet, kann man auch die Zwischenschritte sehen.


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 20.01.2013 - 09:09
Kannst auch in einem mathematischen Nachschlagewerk mal Substitutionen für Standardintegrale nachgucken.
für sqrt(a² + x²) habe ich in meinem schlauen Heft folgende Substitution vorgeschlagen: x = a*sinh(t), also t = arsinh(x/a)

Wenn du dein a als sqrt(a)² schreibst, kommst du ja auch auf diese Form. Damit beschränkst du dein a natürlich auf echt positive Werte.
Sinus-Hyperbolicus ist bekannt?


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 20.01.2013 - 15:27
Oder die gegebene Funktion ist schon das Integral und man soll hier vielleicht nur die Ableitung bestimmen?

Ich denke nicht, das man solch komplexe Integrale in der Schule bespricht. In der Schule wird ja meist kaum noch der Sinus-Hyperbolicus eingeführt.

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