Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit

Aufgabe: Lässt sich der Vektor (5,-5,2) aus den folgenden Vektoren linear kombinieren?:

a=(1,2,-2) b=(1,-3,2) c=(2,-,0)

Lösung:


Ja, das LGS ist mehrdeutig lösbar.
x=r y=1+r z=2-r. a,b,c sind linear abhängig.(Lösung des Buches)


Wenn a b c linear abhängig sind müsste ich ja den Nullvektor erstellen können ohne das die Vorfaktoren alle 0 werden. Aber dies ist nicht der Fall.


Wenn ich aber nach dieser Definition gehe, dann stimmt die Lösung:

Drei Vektoren a, b und c sind linear abhängig, wenn einer von ihnen, beispielsweise
c, in der von a und b aufgespannten Ebene liegt.


Warum kann ich aber nicht den Nullvektor erzeugen ohne,dass alle Vorfaktoren 0 werden? Denn nach der Definition: Vektoren a1,...an heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination von ihnen darstellen lässt.

Alle Vorfaktoren werden also 0 damit der Nullvektor erreicht wird.

Aber die Definition besagt auch: Vektoren heißen linar abhängig wenn sie nicht linear unabhängig sind.

Somit müsste es Vorfaktoren die nicht alle 0 sind, ich aber trotzdem den Nullvektor erzeugen kann.



Hilfe würde mich freuen :-)