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Integral Obersumme

Frage: Integral Obersumme
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Abend an alle!


Wir haben heute mit dem Thema Integrl angefangen.
Nun müssen wir herausfinden, wie man die Obersumme berechnet.
Ich habe mir paar Gedanken gemacht:
Die U1 von der untersumme ist doch gleich groß wie O0, stimmt das?
Das heißt man muss nur die Flächen miteinander tauschen?
Frage von black_goast | am 21.11.2012 - 19:06


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Antwort von Wellenkoenig (ehem. Mitglied) | 21.11.2012 - 19:26
Was meinst du mit O0? Den Ursprung?
Untersumme ich eigentlich gar nicht schwer- ähnlich wie die Obersumme.
Wenn du einen Graphen hast, teilst du die Fläche darunter in ganz viele kleine Rechtecke.
Wichtig hierbei ist, dass du die linke Seite vom Rechteck bis zum Graphen hoch zeichnest und nicht die linke Seite wie bei der Obersumme. Falls das unverständlich ist, hier ein Bild dazu: http://www.iazd.uni-hannover.de/~pigors/ingenieure/dateien/maple/images/MI_6_539.gif
Das blaue ist die Untersumme und das rote die Obersumme. Wenn du später beide ausgerechnest hast und voneinander abziehst, hast du das eigentliche Integral berechnet (Kann dich aber beruhigen, später lernt ihr eine ganz einfache Variante Integrale zu berechnen, das ist jetzt nur die Einführung)
Wenn du jetzt deine vielen Rechtecke hast, berechnest du einzeln den Flächeninhalt davon und addierst alles. So kann man sich auch eine Formel dafür herleiten.
Hoffe, das war soweit alles verständlich?


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Antwort von black_goast | 21.11.2012 - 19:39
Das man die Flächen in Rechtecke teilen muss, verstehe ich ja.
Aber, wenn f(1/2) = (1/2)^2 bei der untersumme ist, wie berechnet man f(1/2) von der obersumme?


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Antwort von Wellenkoenig (ehem. Mitglied) | 21.11.2012 - 19:56
Habe gerade mal mein altes Matheheft rausgesucht. Also:
Berechnung der Obersumme:
I = [0,b]
A = x1*f(x1)+(x2-x1)*f(x2)+...+(xn-xn-1)*f(xn) n-1 soll im Index stehen
ersetze x=b/n
A = b/n * f(x1) + b/n * f(x2) +...+ b/n * f(xn)
= b/n * [ f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ]
= b/n * [ f(b/n) + f(2b/n) +...+ f(nb/n) ]
Falls deine gegebene Funktion jetzt quadratisch wäre, müsstest du wie folgt weiterrechnen:
= b/n * [ (b/n)² + (2b/n)² +...+ (nb/n)² ]
= b/n * [ b²/n² + 2²*b²/n² +...+ n²*b²/n² ]
= b³/n³ * [1² + 2² +...+ n² ]
Die Klammer wird durch die Summenformel ersetzt (steht in jeder Formelsammlung):
= b³/n³ * (n(n+1)(2n+1))/6
= b³/6 * ((n+1)(2n+1))/n²

lim für n gegen Unendlich = b³/3

Untersumme geht so ähnlich, aber das Ergebnis ist letztendlich wieder dasselbe ;)

Das ist leider das einzige was ich dir sagen sagen kann, f(1/2) oder so hatten wir nicht. Wir hatten immer nur konkrete Funktionen. Für b kannst du aber jetzt eine konkrete Zahl einsetzen ;) B ist ja die 2. Grenze vom Intervall. Ich hoffe, das hilft dir wenigstens ein bisschen?


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Antwort von Wellenkoenig (ehem. Mitglied) | 21.11.2012 - 20:00
Der Anfang dieser Rechnung ( also bis = b/n * [ f(b/n) + f(2b/n) +...+ f(nb/n) ]) ist immer gleich, danach musst du immer die Funktion einsetzen, die du gerade hast und dann so weiterrechnen, wie ich es mit x² gemacht habe.


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Antwort von black_goast | 24.11.2012 - 23:33
Hey, danke für deine Mühe, hat mir schon was gebracht :)

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