Integral

Zuerst musst du jeweils das allgemeine/unbestimmte Integral der Funktion bestimmen und dann die Funktionswerte jeweils an der oberen Grenze bestimmen und davon den Funktionswert an der unteren Grenze abziehen.
Für Funktionen der Form a*x hoch n (ax^n, a ist eine Konstante Zahl) ist das unbestimmte Integral
a/(n+1) * x^(n+1), sprich: n mal x hoch in Klammern n plus 1
Also:
1. Integral von -x^4 = (-1)*x^4 ist -1/(4+1) * x^(4+1)= -1/5*x^5
Grenzen eingesetzt I = -1/5*11^5 - (-1/5*10^5) = -161051/5 - (-20000) = -61051/5 (Das erste Integral ist also negativ. Man hätte das auch einfach abschätzen können. Der Wert des Integrals für x=11 ist wegen des negativen Vorzeichens und der Potenz/hoch 5 negativer als der Wert für x=10, also muss dass Integral insgesamt negativ sein. Die Kurve liegt im Intervall [10,11] unter der x-Achse also ist die Fläche negativ. Scheint logisch. (Eventuell, falls vorhanden, im Grafik-Taschenrechner mal die Funktion darstellen lassen).

2. Analog: Das (unbestimmte) Integral von x^3 (x hoch 3) ist 1/4*x^4.
Die Grenzen eingesetzt: 1/4*(2)^4 - 1/4*(-4)^4 = 1/4*16 - 1/4*256 = -60. Das Integral ist also ebenfalls negativ! Wenn man die Funktion x^3 zeichnet ist nämlich der Teil von 0 bis 2 oberhalb der x-Achse und der Teil von 0 bis -4 liegt unterhalb der x-Achse. Also hat man rechts vom Ursprung 0 eine kleinere positivere Fläche und links von 0 eine größere negative Fläche zwichen x-Achse und x^3-Kurve. Also ist logischerweise die Gesamtfläche, also das Integral von 2 bis -4 negativ.

3. Bei der Sinusfunktion kann man sich das dann auch ganz einfach machen. Wenn man diese im Intervall von 0 bis Pi betrachtet dann schließt sie mit der x-Achse eine postive Fläche ein und im Intervall von Pi bis 2*Pi eine gleich große negative Fläche. Also ist die Fläche aufsummiert, das entspricht der Integration, von 0 bis 2*Pi gleich Null. Die Flächen heben sich gegenseitig auf.
Man kann auch wie bei 1. und 2. Integrieren: Integral von sin(x) ist I(x) = -cos(x), I(2*Pi) - I(0) = -(cos(2*Pi)-cos(0)) = -(1-1) = 0