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Zufallsvariablen

Frage: Zufallsvariablen
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Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

a) Zeigen Sie, dass die konstante Abbildung X_1 : Ω → X , ω → a, mit a ∈ X fest, bezüglich A und jeder σ-Algebra B auf X eine Zufallsvariable ist.

b) Sei nun Ω = {1, 2, 3, 4} und A = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω}.

i) Zeigen Sie, dass die Abbildung X_2 : Ω → X , ω → ω + 1, mit X = X_2(Ω), keine
Zufallsvariable bezüglich der σ-Algebren A und B = P(X) ist.

ii) Geben Sie eine nicht-konstante Abbildung X_3 : Ω → X = X_3(Ω) an, die bezüglich der σ-Algebren A und B = P(X) eine Zufallsvariable ist.

iii) Sei P die (diskrete) Gleichverteilung auf A, d.h., P(A) = |A*|/|Ω| für ¨ A* ∈ A.
Geben Sie für Ihre in ii) definierte Zufallsvariable die Verteilung ¨ PX_3
an.

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Hallo zusammen! Ich habe so meine Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich würde gerne erstmal die a) und die b)i) schaffen und verstehen.

Meine Gedanken zu a): X_1 ZV. <=> (X_1)^(-1)(B)∈ A für alle B ∈ X. Ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Annehmen, dass ein B existiert, für das das nicht gilt und dies zum Widerspruch führen? Ich habe auch von der Intuition her ein Problem damit zu verstehen, warum das eine ZV sein soll. Wenn X_1 doch immer auf das gleiche a abbildet, ist das doch kein "Zufall" in dem Sinne mehr?

Zu b)ii): X = {2,3,4,5}. Auch hier habe ich nicht wirklich eine Idee bis auf die Definition einer ZV. Ich weiß auch nicht konkret, was mir die Wahl von A sagen soll bzw. wie ich die mit einbeziehe.

Danke schonmal für eure Hilfe!
Frage von TheMonotype | am 11.11.2012 - 11:50


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Antwort von v_love | 11.11.2012 - 22:06
"Wenn X_1 doch immer auf das gleiche a abbildet, ist das doch kein "Zufall" in dem Sinne mehr?"


es geht in der aufgabe sich mit den begrifflichkeiten vertaut zu machen, natürlich ist das kein allzu realitätsnahes beispiel.

"Annehmen, dass ein B existiert, für das das nicht gilt und dies zum Widerspruch führen?"

zu umständlich, geht auch direkt:

je nach dem, ob a aus B oder nicht ist die urbildmenge (X_1)^(-1)(B) die leere menge oder Omega, beide mengen sind messbar.
das ist im wesentlichen schon der beweis.

"Zu b)ii): X = {2,3,4,5}. Auch hier habe ich nicht wirklich eine Idee bis auf die Definition einer ZV. Ich weiß auch nicht konkret, was mir die Wahl von A sagen soll bzw. wie ich die mit einbeziehe."

rate einfach eine abbildung, mit etwas glück hast du eine zufallsvariable bzgl. der algebren gefunden (das nachweisen natürlich), nimm nichts kompliziertes.


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Antwort von TheMonotype | 12.11.2012 - 14:15
Okay, die a) ist mir jetzt vollkommen klar, danke! :)

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Ich meinte eigentlich erstmal zu b)i) anstatt b)ii), sorry, habe mich vertippt. Habe zur b)i) jetzt eine Idee:

X = {2,3,4,5} => {2,3} ∈ P(X) , jedoch ist (X_2)^(-1)({2,3}) = {1,2} , was nicht Element aus A ist.

Also habe ich ein B = {2,3} gefunden, was die Definition der ZV. nicht erfüllt oder?

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Kannst du mir bei der ii) vielleicht einen kleinen Wink mit dem Brückenpfeiler geben? ;p


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Antwort von v_love | 12.11.2012 - 21:22
"Also habe ich ein B = {2,3} gefunden, was die Definition der ZV. nicht erfüllt oder?"

jo, allerdings ist B schlecht, weil B schon P(X) war, selbes spiel jedenfalls jetzt mit B.

"Kannst du mir bei der ii) vielleicht einen kleinen Wink mit dem Brückenpfeiler geben?"

da ist eigentlich jeder hinweis schon zu viel, da musst du schon selber probieren oder es "sehen".


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Antwort von TheMonotype | 13.11.2012 - 17:04
Also ich habe es mit 2ω , ω² usw. versucht, aber das klappt alles nicht. Unkomplizierter kann ich es mir nicht vorstellen. Wärst du vllt so nett und würdest es mir verraten? Wäre dir sehr dankbar.

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