Zufallsvariablen

Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

a) Zeigen Sie, dass die konstante Abbildung X_1 : Ω → X , ω → a, mit a ∈ X fest, bezüglich A und jeder σ-Algebra B auf X eine Zufallsvariable ist.

b) Sei nun Ω = {1, 2, 3, 4} und A = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω}.

i) Zeigen Sie, dass die Abbildung X_2 : Ω → X , ω → ω + 1, mit X = X_2(Ω), keine
Zufallsvariable bezüglich der σ-Algebren A und B = P(X) ist.

ii) Geben Sie eine nicht-konstante Abbildung X_3 : Ω → X = X_3(Ω) an, die bezüglich der σ-Algebren A und B = P(X) eine Zufallsvariable ist.

iii) Sei P die (diskrete) Gleichverteilung auf A, d.h., P(A) = |A*|/|Ω| für ¨ A* ∈ A.
Geben Sie für Ihre in ii) definierte Zufallsvariable die Verteilung ¨ PX_3
an.

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Hallo zusammen! Ich habe so meine Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich würde gerne erstmal die a) und die b)i) schaffen und verstehen.

Meine Gedanken zu a): X_1 ZV. <=> (X_1)^(-1)(B)∈ A für alle B ∈ X. Ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Annehmen, dass ein B existiert, für das das nicht gilt und dies zum Widerspruch führen? Ich habe auch von der Intuition her ein Problem damit zu verstehen, warum das eine ZV sein soll. Wenn X_1 doch immer auf das gleiche a abbildet, ist das doch kein "Zufall" in dem Sinne mehr?

Zu b)ii): X = {2,3,4,5}. Auch hier habe ich nicht wirklich eine Idee bis auf die Definition einer ZV. Ich weiß auch nicht konkret, was mir die Wahl von A sagen soll bzw. wie ich die mit einbeziehe.

Danke schonmal für eure Hilfe!