Stochastik: Wie geht es weiter?

Ich hänge gerade an einer Aufgabe und bräuchte Hilfe:


Seien {X_i} (i¤N) unabhängige, identisch R(0,1)-verteilte Zufallsvariablen und

m_n:=min{X_1,...,X_n} ; M_n:=max{X_1,...,X_n}

(a) Zeigen Sie, dass m_n stochastisch gegen 0 konvergiert.

(b) Zeigen Sie: n*(1-M_n) konvergiert nach Verteilung gegen Z, wobei Z~Exp(1)
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Zu (a):

Da 0 ¤ R, reicht es zu zeigen, dass m_n nach Verteilung gegen 0 konvergiert.

P(m_n<=x)=1-(1-F(x))^n , wobei F(x) die Verteilungsfunktion der X_i ist.

Da X_i~R(0,1) ist F(x)=x für x¤[0,1] , 0 für x<0 und 1 für x>1.

Die Konvergenz von P(m_n<=x) gegen 0 kriege ich aber jetzt nur für den Fall x<=0
hin. Wo ist mein Fehler?

Zu (b):

P(n*(1-M_n)<=x)=P(1-M_n<=(x/n))=P(-M_n<=-1+(x/n))=P(M_n>=1-(x/n))=1-P(M_n<1-(x/n))
=1-P(X_1<1-(x/n),...,X_n<1-(x/n))=1-P(X_1<1-(x/n))^n

Bis hier hin müsste ja alles stimmen, aber jetzt fehlt mir der richtige Schritt. Jede Umformung, die ich vornehme, führt zu nichts.

Danke schonmal! :)