Maximum Likelihood Methode

Hallo Zusammen,

sitze nun seit Tagen vor dieser Aufgabe,
war auch schon bei einer Kollegin die kein Fernstudium macht zur Nachhilfe, jedoch ist ihr das als WiWi Student völlig fremd.


Habe ein Heft vor mir liegen, ohne Beispiele. Habe hier auch schon einige Lösungsansätze bzw. Ergebnisse gefunden, jedoch reicht das nicht zum abgeben der Einsendearbeit.


Würde mich über Unterstützung freuen, sonst verzweifle ich hier noch...:(

Danke Euch!

Hier die Aufgabe:

„Trotz des verwandelten Elfmeters hat Eigentor 07 das Spiel haushoch verloren. Im ersten Training danach ordnet der Trainer daher Torschusstraining an. Hierfür stellt er einen Holzpfosten auf, den die Stürmer aus 11 Meter Entfernung treffen sollen. Die folgende Tabelle gibt die Ergebnisse eines der Spieler an, dessen Namen wir hier aus Gründen des Persönlichkeitsschutzes verschweigen wollen.
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse von 10 Schussversuchen; eine positive Zahl x bedeutet: das Ziel um x Meter nach rechts verfehlt, eine negative Zahl entsprechend nach links. Das Ergebnis 0 bedeutet: Ziel getroffen.

Versuch Nr.:1 → Abweichung:3
Versuch Nr.:2 → Abweichung:-1
Versuch Nr.:3 → Abweichung:0
Versuch Nr.:4 → Abweichung:5
Versuch Nr.:5 → Abweichung:1
Versuch Nr.:6 → Abweichung:-2
Versuch Nr.:7 → Abweichung:-7
Versuch Nr.:8 → Abweichung:0
Versuch Nr.:9 → Abweichung:1
Versuch Nr.:10 → Abweichung:-1

Die Ergebnisse können als Werte einer normalverteilten Zufallsgröße angesehen werden. Bestimmen Sie mithilfe der Maximum-Likelihood-Methode eine Schätzung für Erwartungswert und Streuung dieser Verteilung.“



Das sind Lösungsansätze:

Die Likelihood- Funktion ist die Dichtefunktion f(μ,σ2) selbst oder ln(f(μ,σ2)). Da hier 10 unabhängige identisch verteile Zufallsvariablen betrachtet werden, heißt das, dass Du hier die Funktion
L(μ,σ2)=⎛⎝12πσ2−−−−−√⎞⎠10exp⎛⎝−12σ2∑i=110(xi−μ)2⎞⎠ oder einfachheithalber den Logarithmus davon einmal in Richtung μ und einmal in Richtung σ2 ableiten und gleich 0 setzen musst.
Wenn Du Probleme bei der konkreten Berechnung hast, sag ruhig Bescheid, auf jeden Fall muss letztlich rauskommen:
μ=110∑i=110xi; σ2=110∑i=110(xi−μ)2, also wie es sich sowieso gehört…

Diese beiden kannst Du dann mit Deiner Datenreihe ausrechnen, was die konkrete Schätzung N(μ,σ2) für die

L(μ,σ2)=(12π−−−√)10exp⎛⎝−12σ2∑i=110(xi−μ)2−5ln(σ2)⎞⎠. Da, wie gesagt, die Funktion „ln“ konkav ist und der positive Vorfaktor beim minimieren bzw. maximieren keinen Beitrag leistet, können wir o.B.d.A einfach die Funktion
L−−(μ,σ2):=−12σ2∑i=110(xi−μ)2−5ln(σ2) betrachten.

Zunächst minimieren wir bzgl. μ: Es gilt
∂L−−∂μ(μ,σ2)=1σ2∑i=110(xi−μ)=1σ2⎛⎝∑i=110xi−10μ⎞⎠=!0=⇒μ=110∑i=110xi.



∂2lnL∂σ2=n2σ2+1((2σ2))2⋅∑i=1n(xi−x−−n)2=0
σ2=1n⋅∑i=1n(xi−x−−n)2

Und für σ2 komme ich dann (wenn ich mich nicht verrechnet habe) auf 9,09 für die Streuung. Stimmt das?