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Beweis - Vektorrechnung

Frage: Beweis - Vektorrechnung
(9 Antworten)

 
Beweise, dass 2 Vektoren senkrecht zueinander sind, wenn die Beträge ihrer Differenz und Summe gleich sind.


Also 2 Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt.
Das heißt also, dass der Betrag der Summe und Differenz der 2 Vektoren auch 0 ergeben müssen!

Ich versuche gerade alles aufzuschreiben und zu rechnen, aber komme einfach nicht weiter.

Kann mir jemand helfen oder kennt jemand eine Seite, wo man diesen Beweis sehen kann?
GAST stellte diese Frage am 20.10.2012 - 17:05


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Antwort von Quadrat | 20.10.2012 - 19:48
Zitat:
Also 2 Vektoren sind senkrecht zueinander,
wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt.

Ja.
Zitat:
Das heißt also, dass der Betrag der Summe und Differenz der 2 Vektoren auch 0 ergeben müssen!

Nein. Sie müssen gleich sein. Wie das in der Aufgabenstellung auch steht.
Rechnest du die Beträge der Summe bzw. der Differenz mal aus, bemerkst du, dass sie bis auf einen Term identisch sind.
Sag bescheid, wenn du es noch immer nicht schaffst.

 
Antwort von GAST | 22.10.2012 - 18:39
Sorry ich komme nicht weiter, mit fehlt ein Tick bzw. der richtige Gedanke zum Starten.


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Antwort von Quadrat | 22.10.2012 - 19:36
Hmm. Vergiss mal für einen Moment die Aufgabe und zeige mir wie du ... berechnest.
1. Den Betrag des Differenzvektors
2. Den Betrag des Summenvektors

 
Antwort von GAST | 22.10.2012 - 19:37
Ich hab mir folgendes überlegt:

vektor(a)*vektor(b) = a1b1+a2b2+a3b3

betrag der summe von vektor a und b => wurzel[(a1+b1)²+(a2+b2)²+(a3+b3)²]

betrag der differenz " " " " => wurzel[(a1-b1)²+(a2-b2)²+(a3-b3)²]

Und irgendwie muss ich alles in Verbindung setzen, aber ich weiß nicht genau wie.


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Antwort von Quadrat | 22.10.2012 - 19:40
Du bist auf dem richtigen Weg. Multiplizier mal die Klammern mithilfe der binomischen Formel aus. Dann sollte dir was auffallen.

 
Antwort von GAST | 22.10.2012 - 19:46
Bei der Summe: Wurzel aus [(a1)² + 2a1b1 + (b1)² + (a2)² + 2a2b2 + (b2)² + (a3)² + 2a3b3 + (b3)²]

Bei der Differenz kommt das Gleiche, bis auf vor 2a1b1, 2a2b2 und 2a3b3 ist davor das Vorzeichen ein Minus.

Was mir auffällt ist, dass jeweils vor dem a1b1/a2b2/a3b3 der Faktor 2 davor steht. Ich weiß aber nicht ob das mir auffallen sollte oder was anderes.


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Antwort von Quadrat | 22.10.2012 - 19:49
richtig es kommt das gleiche ruas bis auf den Term 2(a1b1+a2b2+a3b3) mit unterschiedlichem Vorzeichen. Die Beträge sind also nur dann gleich, wenn es dieser Term=0 ist, sodass einmal +0 und einmal -0 steht.
Und siehe, da es ist unser Skalaprodukt, der einen besonderen Wert hat, wenn die Vektoren senkrecht sind=0.
Aussage bewiesen.

 
Antwort von GAST | 22.10.2012 - 19:59
Zitat:
Die Beträge sind also nur dann gleich, wenn es dieser Term=0 ist, sodass einmal +0 und einmal -0 steht.


Das verstehe ich inhaltlich nicht.
Kannst du es mir auch rechnerisch erklären (sowie ich das jetzt gemacht habe)?


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Antwort von Quadrat | 22.10.2012 - 20:16
Betrag des Summenvektors:
Wurzel[(a1+b1)²+(a2+b2)²+(a3+b3)²]=Wurzel[a1²+2a1b1+b1²+a2²+2a2b2+b2²+a3²+2a3b3+b3²]=
Wurzel[a1²+a2²+a3²+b1²+b2²+b3²+2(a1b1+a2b2+a3b3)=Wurzel[a1²+a2²+a3²+b1²+b2²+b3²)]beim rechten Winkel,da
Skalarprodukt=a1b1+a2b2+a3b3=0 und 2*0=0

Betrag der Differenzvektors ganz analog:
Wurzel[a1²-2a1b1+b1²+a2²-2a2b2+b2²+a3²-2a3b3+b3²]=Wurzel[a1²+a2²+a3²+b1²+b2²+b3²-2(a1b1+a2b2+a3b3)]=Wurzel[a1²+a2²+a3²+b1²+b2²+b3²] ,mit der gleichen Begründung wie oben
=Betrag der Summenvektors (natürlich nur beim rechten Winkel, da nur dann der Term/Skalaprodukt=0 ist)

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