Lineare Algebra II

das nach x oder y umzustellen ist nicht vorteilhaft; im übrigen ist auch C kein vektorraum.

was hier sinnvoll ist,
ist eine basistransformation, und zwar: x*2^(1/2)=x`-y`, y*2^(1/2)=x`+y`, das führt dann zu x`²+y`²/5=1, also eine ellipse (in hauptlage).

dein C ist also eine ellipse, die gegenüber der transformierten ellipse um 45° gedreht ist.

Außerdem komme ich, wenn ich so wie du "substituiere" auf x`²/1 +y`²/5 = 1

"Wie kommst du denn auf " x*2^(1/2)=x`-y`, y*2^(1/2)=x`+y " ?"

die idee ist den mischterm wegzubekommen, deshalb ist diese transformation günstig.
der zusätzliche fakor 2^(1/2) sorgt dafür, dass sich abstände nicht ändern.
d.h. die transformierte ellipse ist genau so groß wie die ursprüngliche.

irgendwelche koordinaten kannst du immer einführen - ohne irgendwas zu begründen.

das was zu begründen ist, ist wie die ellipse im neuen system nun aussieht.
dazu sollte man wissen, was die transformation bewirkt.
falls man das nicht weiß, muss man sich das genauer anschauen, z.b. indem man einen vektor (u|v), am besten in polarkoordinaten, transformiert und additionstheoreme anwendet.

"Ist das einfach Erfahrung?"

ja, vielleicht.

berechne ||Ax||, wobei A die transformationsmatrix sein soll, das sollte gerade ||x|| sein.
man nennt solche abbildungen isometrisch; im übrigen sind alle solche abbildung mit einem orthogonalen/unitären A isometrisch.