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Matheaufgabe Lineare Algebra I

Frage: Matheaufgabe Lineare Algebra I
(6 Antworten)


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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?


Zeigen Sie die folgenden Behauptungen mit vollständiger Induktion:

Für n>=1 gilt: 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
Frage von becks777 (ehem. Mitglied) | am 15.10.2010 - 14:44


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Antwort von Double-T | 15.10.2010 - 15:52
Für n = 1:
1³ = 1².
Die Aussage ist also wahr für mindestens ein n aus N.

Schließe von n auf n+1
Also:
1³+2³+3³+...+(n+1)³ = (1+2+3+...+(n+1))²
Leicht anders formuliert:
1³+2³+3³+...+n+(n+1)³ = (1+2+3+...+n+(n+1))²
Mit der (bereits bestätigten) Aussage
1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
erhält man also:
(1+2+3+...+n)² + (n+1)³ = (1+2+3+...+n+(n+1))²
Binomischer Lehrsatz sollte dann weiter helfen.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 15.10.2010 - 16:09
oh man da hab ich mir mitm mathestudium was eingebrockt :D
ich versteh null, genauso wenig vom beweisen symmetrischer diferrenz


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Antwort von S_A_S | 15.10.2010 - 16:34
Was double-T gesagt hat ist schon ganz richtig und eigentlich leicht zu verstehen.

Du suchst dir bei der voll. Induktion einen Anfang. Für den Probierst du das aus.

Also weil bei dir die Beh. ist für n> 1 gilt dies und das.
Ist dein Anfang n=2
da kannst du logischerweise 1^3+2^3 ausrechnen und (1+2)^2 und dann merkst du oha das ist gleich.
Dann behauptest du, dass das ganze für ein belibiges aber festes n einfach gilt - also 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²

und dann schreibst du das ganze für n+1 auf. Also die zahl nach n.
da hättest du dann ja zu zeigen, dass 1³+2³+3³+...+n³+(n+1)^3 das gleiche wie (1+2+3+...+n+n+1)²
wenn du das jetzt mit dem oben für n vergleichst merkst du ziemlich,schnell, dass du da was ersetzen kannst. Denn 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
also ist (1+2+3+...+n)² + (n+1)³ = (1+2+3+...+n+(n+1))² und das war ja genau das was du zeigen wolltest.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 15.10.2010 - 16:57
ich glaub ich hab soweit verstanden.. ich versteh nur nicht wieso man im letzten schritt den teil hinter dem gleich nimmt (1+2+3+...+n)² und dazu (n+1)³ addiert.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 15.10.2010 - 17:07
ich hab noch diese aufgabe zu lösen:

für n>=1 gilt: 1+2+3+...+n=1/2n(n+1)

da würd ich dann wie folg vorgehen:

Induktionsanfang: A(1) 1=1/2*1(1+1) daraus folgt 1=1
kann ich das denn mit der 1 machen? da steht ja n>=1

Indutionsschluss: A(n+1) 1+2+3+...+n+(n+1)=1/2n(n+1)+(n+1)

bei dem schritt bleib ich hängen, weil ich nicht genau weiß wie man das hinter dem gleich zusammenrechnet. wären das 1/2*(n+1)*(n+2)

ist das soweit richtig?

 
Antwort von GAST | 15.10.2010 - 18:41
solltest vielleicht noch einen zwischenschritt einbauen, und zwar n+1 ausklammern.

summe k³ von 1 bis N+1=(summe k von 1 bis N)²+(N+1)³
ist im übrigen NICHT offensichtlich, das musst weiter bearbeiten
(indem du (N+1)³ in (N+1)²+N³+2N²+N umschreibst, und etwas vereinfachst (ausklammern), dann formel anwenden, die du gerade bewiesen hast)

was du in jedem fall vermeinden solltest, sind solche aussagen wie A(n+1) ist wahr, und dann rechnest du weiter und kommst auf 0=0 z.b.
auf so eine schlussfolgerung kann man nur 0 punkte geben. (hat auch nicht viel mit induktion zu tun)
wenn du es nicht schaffst, es in einem zug durchzuziehen (was in den meisten beweisen so sein wird), schaust du hinten nach was rauskommen soll (nimmst also an, dass A(n+1) wahr ist), vereinfachst das, vereinfachst auch das, was du vorne stehen hast. und dann schreibst du es formel sauber auf:
IA: n=1 ...
IV: gelte A(n) für ein FESTES n aus ...
IS: wenn IV erfüllt ist, dann ...
damit ist der schluss A(n) --->A(n+1) gezeigt, also A(n) wahr für alle ...

führ dir auch vor augen, warum man IA braucht. (-->logik)

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