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Beweis Eigenwert = 1

Frage: Beweis Eigenwert = 1
(4 Antworten)


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ICh soll beweisen, dass es ein EW a = 1 gibt, wenn A aus SO_n und n ungerade.


Habe folgenden Ansatz:

Es gilt: a ein EW <=> det(A-a*I) = 0

Ansatz:

Da A orthogonal und aus SO_n gilt: A*A^t = I , A = A^t , det A = 1

sei nun X mein Charackteristisches Polynom und ich nehme an, es gilt a = 1

X = det(A-I) = det(A-*A*A^t) = det(A) * det(I-*A^t) = det(I-*A) = (-1)^n *det(A - I)

=> X = (-1)^n * det(A-a*I) = (-1)^n * X

und da n ungerade => X = 0 => a ein Eigenwert

Mein Problem: darf ich einfach von vornerein sagen, das a = 1 ist und somit X = det(A-I)?

Sonst hätte ich ja eigentlich dort so vorgehen müssen: det(A-aI) = X
Frage von shiZZle | am 08.05.2012 - 22:36


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Antwort von v_love | 08.05.2012 - 23:09
das
1 ein eigenwert ist kannst du selbstverständlich nicht annehmen (weil z.z.), das hast du aber auch nirgendwo gemacht.


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Antwort von shiZZle | 08.05.2012 - 23:12
Ja aber ich gehe doch aus, dass 1 ein EW, wenn ich sage:

X = det(A-I)

Denn es gilt doch nach Def, dass Charackteristische Polynom = det(A-a*I) ist. Und wenn ich sage: X = det(A-I) dann habe ich ja a schon als 1 gesetzt.


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Antwort von v_love | 08.05.2012 - 23:15
ne, du rechnest nur das char. polynom bei 1 aus - ob das ein EW ist, weißt du an der stelle noch nicht.
ein EW ist es dann, wenn Av=v für v<>0 gilt oder äquivalent: det(A-1)=0


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Antwort von shiZZle | 08.05.2012 - 23:18
cool dann ist mein Beweis ja richtig ^^

Danke dir

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