Beweis Eigenwert = 1

ICh soll beweisen, dass es ein EW a = 1 gibt, wenn A aus SO_n und n ungerade.


Habe folgenden Ansatz:

Es gilt: a ein EW <=> det(A-a*I) = 0

Ansatz:

Da A orthogonal und aus SO_n gilt: A*A^t = I , A = A^t , det A = 1

sei nun X mein Charackteristisches Polynom und ich nehme an, es gilt a = 1

X = det(A-I) = det(A-*A*A^t) = det(A) * det(I-*A^t) = det(I-*A) = (-1)^n *det(A - I)

=> X = (-1)^n * det(A-a*I) = (-1)^n * X

und da n ungerade => X = 0 => a ein Eigenwert

Mein Problem: darf ich einfach von vornerein sagen, das a = 1 ist und somit X = det(A-I)?

Sonst hätte ich ja eigentlich dort so vorgehen müssen: det(A-aI) = X