Konvergenz, Ungleichung, Orthonormalbasis

Viele Fragen habe ich heute ^^.


Fange mit der ersten an:

1. Die lineare Abbildung P2(R)->R sei defniert durch phi(f) = f(1). Finden Sie (Ker phi)^orthogonal
bezüglich des folgenden Skalarprodukts:

s(f,g) = -1 bis 1 Int fg dt

Habe den Kern bestimmt. Habe dort t²-1 und t-1 raus. Nun muss ich ja das orthogonal Komplement des Kerns bestimmen. Habe mir gedacht:

s(t²-1,at²+bt+c)=0 zu berechnen und s(t-1,at²+bt+c)=0 dann kriege ich ja zwei Gleichungen mit drei Unbekannten heraus. Und das dann lösen. Wäre der Ansatz richtig?


2. Sei I = (a; b), f : I teil von R zweimal differenzierbar und f``(x) > 0 fur alle x aus I.

(a) Zeige: f(x) + f`(x)(y - x) < f(y) für alle x ungleich y in I.
Was bedeutet dies geometrisch?

Wollte das mit Taylor machen. Und zwar so:

T(y) = f(x) + f`(x)(y-x) + f``(x)/2 *(y-x)² mit Entwicklungspunkt = x

Da zweite Ableitung > 0 =>

T(y) > f(x) + f`(x)(y-x)


Nun muss ich ja nur noch zeigen: f(y) - T(y) = 0 Also R(x) = 0 Doch wie kann ich das hier argumentieren? Immerhin muss das ja nicht so sein.



b) Folgere: e^y > 1+y für y aus R ohne 0

Klar mit Reihe ganz schnell gemacht, doch das wäre nicht gefolgert. Benutze ich die obrige Gleichung mit f(y) = e^y und f(x) = e^x bekomme ich folgende Ungleichung:

e^y > e^x(1+y-x)

Viele meiner Mitstudenten haben x = 0 gesetzt. Ohne Begründung oder ähnliches. Finde ich etwas komisch. Es soll doch für alle x gelten.


3. Zeige: 

pi/2 = 1 + 1/2 * 1/3 + 1/2 * 3/4 *1/5 +...


Habe vorher schon bewiesen:

arcin(x) = x + 1/2 * x^3/3 + 1/2 * 3/4 *x^5/5 +... = sum (-1/2 nCr k) * (-1)^k * x^(2k+1)/(2k+1)

x aus (-1,1)


Ich muss ja quasi nur noch zeigen, also nach dem Abelschen Grenzwertsatz, dass meine Reihe auch für x = 1 konvergiert. Dann konvergiert nämlich meine Reihe für [0,1] und dann ist sie dort glm. konvergent, und dann kann ich den limes reinziehen in die Summe und bin fertig. Doch wie gesagt, kein Ansatz für Konvergenz.